Uma porta de 15   k g e 70   c m de largura, suspensa por dobradiças bem azeitadas, está aberta de 90 ° , ou seja, com seu plano perpendicular ao plano do batente. Ela leva um empurrão na beirada aberta, com um impacto equivalente ao de uma massa de 1   k g , com velocidade 2,5   m / s . Quanto tempo ela leva para fechar-se?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

Temos uma porta (chapa homogênea) que leva um empurrão na beirada. Então daqui já podemos calcular o momento angular, já que uma força é aplicada perpendicularmente.

Acontece que com esse empurrão, a porta adquire uma velocidade angular e daqui podemos determinar quanto tempo ela leva para fechar.

L com o momento de inércia da porta e a velocidade angular:

L = I ω

Então nossa missão é encontrar o momento angular, depois o momento de inércia e por fim achar a velocidade angular. E com a velocidade, achar o tempo para fechar (ou seja, para percorrer 90 ° )

Beleza?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Primeiramente, vamos calcular a quantidade de movimento angular.

L = r → × p →

Logo:

L = m v r sen ⁡ θ

Lembrando que o empurrão dado é equivalente a uma massa de 1 k g com velocidade de 2,5 m / s . Então é com esses dados que vamos calcular L !

E o r ? Ele é a largura da porta! Pois o empurrão foi dado na beirada dela!

Como o ângulo entre o vetor r e o vetor v é 90 ° :

L = m v r

L = 1   kg ⋅ 2,5   m/s ⋅ 70 × 10 - 2   m

L = 1,75   kg⋅ m 2 /s    

Tranquilo? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

O momento de inércia de uma chapa homogênea é tal que:

I = 1 3 M R 2

Logo:

I = 1 3 15   kg ⋅ 0,70   m 2 = 2,45   k g   m 2

Certo? Esse é o segundo resultado que vamos guardar!

Passo 4

Juntando os resultados do momento de inércia do passo 4 e do momento angular do passo 3 temos o seguinte:

L = I ω

1 3 M R 2 ω = L

1 3 15   kg ⋅ 0,70   m 2 ⋅ ω = 1,75   kg⋅ m 2 /s

Logo:

ω = 0,714   rad/s

Beleza?

Passo 5

Agora é só finalizar! O deslocamento angular da porta foi de 90 ° = π 2 , e temos com que velocidade ela se movimentou! Então fica tranquilo achar o tempo:

ω = Δ θ Δ t

Como Δ θ = π / 2 :

Δ t = π 2   rad 0,714   rad/s

∆ t = 2,2   s

É isso! Espero ter ajudado!

Resposta

Δ t = 2,2   s

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