UFABC – Fenômenos Mecânicos – P5 – Questão 4
O vetor fornece a posição de uma partícula de massa no instante em relação à origem de um sistema de coordenadas . Determine o módulo do momento angular da partícula em relação à origem no instante .
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Como relembrar é viver, vamos ver o que é preciso pra calcular o momento angular de uma partícula?
Momento angular é como se fosse o momento linear, mas pra rotações! E a gente calcula esse treco assim:
Então precisamos desses dois vetores: da posição e da velocidade ! Além da massa, claro! Uma observação: aqui o vetor posição depende do tempo, então precisamos aplicar no instante que o problema pede, tá? No nosso caso .
A massa e o vetor posição já temos, então precisamos achar o vetor velocidade! Pra isso, a gente precisa lembrar que a velocidade é a derivada da posição em função do tempo!
Pronto, com esses dois vetores (aplicados no tempo dado) é só correr pro produto vetorial (vou te relembrar como faz tá, fica tranquilo!) e matar essa questão!
Segura minha mão e vem comigo!
Passo 2
Vamos agora calcular o vetor velocidade. Ele vai ser a derivada do vetor posição:
E a derivada em relação ao tempo:
E queremos esses dois vetores no instante :
E agora o vetor velocidade em :
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos resgatar todos os dados até agora:
E a massa da partícula é . Agora vamos ao momento angular?
Vamos ao produto vetorial?
Um produto vetorial entre dois vetores quaisquer e é:
Onde e são as componentes dos vetores que a gente tá trabalhando. Então agora é só substituir! Belezinha?
Como você pode ver, as componentes e são nulas, que curioso, né? Isso acontece porque tanto a posição quanto a velocidade estão no plano , e como o momento angular é resultado de um produto vetorial (o produto vetorial é um vetor perpendicular aos vetores do produto), ele tem que ser perpendicular tanto a posição quanto a velocidade ao mesmo tempo! E isso só acontece se ele estiver na direção de .
Aí o vetor momento angular é:
Beleza?
Passo 4
Mas o problema nos pede o Módulo do momento angular! Então por fim, precisamos calcular o módulo desse vetorzinho:
O módulo de um vetor qualquer é:
Aí o módulo do vetor é:
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?