Dois patinadores, cada um de massa m = 60   k g , deslizando sobre uma pista de gelo, com atrito desprezível, aproximam-se com velocidades iguais e opostas de módulo v =   5 m / s , segundo retas paralelas, as quais estão separadas por uma distância d = 1,40   m .

( a ) Calcule o vetor momento angular do sistema e mostre que é o mesmo em relação a qualquer ponto e se conserva.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos um sistema que pode ser representado como

Ambos os patinadores tem m = 60   k g e estão se movendo a velocidades v =   5   m / s , as retas distam de d = 1,40   m . Precisamos

( a ) Calcular o vetor momento angular do sistema e mostre que é o mesmo em relação a qualquer ponto e se conserva.

para proceder vamos usar a definição de momentum angular como

L → = r → × p →

O momentum do sistema será uma soma da forma

L → T = L 1 → + L 2 →

note que a escolha arbitrária de um sistema de coordenadas indica que se obtermos uma expressão válida para qualquer vetor posição r i → teremos demonstrado o que está sendo pedido! Saca só!

Passo 2

Note que a todo momento temos que

p 1 → = - p 2 →

note também que

r 1 → = - r 2 →

isso é válido para a escolha do referencial em uma distância simétrica entre os dois, mas note que a escolha de referencial é arbitrária e isso não irá afetar o resultado! Usando ambas as relações, temos que

L T → = r 1 → × p 1 → + r → 2 × p → 2 = 2   r 1 → × p → 1

escolhendo o momento em que r 1 → é perpendicular ao momentum linear, temos que

L T → = 2 ( 0,7   m ) ( 60   k g   5   m / s ) k ^ = 420   k g   m 2 / s   k ^  

Vamos mostrar que isso se conserva para todo ponto! Saca só!

Passo 3

A conservação do momentum angular é verdade se em um sistema sem forças externas, temos que

d L → T d t = 0 →

derivando em relação ao tempo e usando a regra do produto para a derivação, temos que

d L → T d t = 2 d r → 1 d t × p 1 → + 2 r 1 → × d p 1 → d t

como temos que

d r 1 → d t = v 1 →

e como v 1 → é paralelo à p 1 → , temos que

d r → 1 d t × p 1 → = 0

e, como a velocidade é constante temos que

d p 1 → d t = 0 →

Ou seja, podemos garantir que independentemente do valor de r 1 → temos que

d L → T d t = 0 →

Essa alternativa foi isso! Te vejo na próxima! Até já!

Resposta

L T → = 420   k g   m 2 / s   k ^  

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