Uma barra isolante fina de comprimento 2L é posicionada sobre o eixo X de um sistema de coordenadas com seu ponto médio sobre a origem, como mostrado na figura abaixo. A porção possui uma densidade linear de carga constante e a porção possui uma densidade linear . Considere que o potencial elétrico produzido pela barra é nulo em um ponto infinitamente afastado dela.

(a) Determine o potencial elétrico produzido pela barra em um ponto P sobre o eixo X, localizado a uma distancia da origem.

(b) Determine uma expressão assintótica para o resultado encontrado no item anterior no limite . Interprete esse resultado.

Formulário: , com .

Vamos lá, queremos o potencial de um corpo extenso em um certo ponto do espaço. Vamos calcular o potencial de um pedacinho da barra de carga no ponto em que ele quer, e depois integramos na barra inteira para ter o potencial total, ok?

O potencial do pedacinho é

Temos que

Atenção! Coloquei o porque o valor muda conforme a posição x, certo?

E que é a distância entre o pedacinho da barra e o ponto em que queremos calcular o potencial.

Então

Vamos integrar agora, o comprimento da barra vai de até . Então

Mas o lambda depende de x, então vamos separar essa integral:

Fazendo uma transformação simples: , .

A integral:

Avaliando nos limites, essa integral vale:

Já a outra integral:

Avaliando nos limites:

Substituindo os resultados na equação:

Usando propriedades do log:

Usando a regra do produto pela diferença:

Novamente, pelas propriedades do log:

Prontinho!