A figura abaixo mostra duas distribuições de carga isoladas. Na esquerda, um anel circular fino, isolante, de raio , encontra-se uniformemente carregado e possui uma carga total . Na direita, uma coroa circular fina, isolante, de raio interno e raio externo encontra-se uniformemente carregada com uma densidade superficial de carga . Em ambas as situações, considere que o potencial elétrico produzido por cada uma das distribuições é nulo em um ponto infinitamente afastado delas. Considere ainda que o eixo é perpendicular ao plano definido por cada distribuição e passa pelo centro delas.
(a) Determine o potencial elétrico produzido pelo anel em um ponto sobre o eixo, localizado a uma distância do centro do anel.
(b) Determine o potencial elétrico produzido pela coroa em um ponto sobre o eixo , localizado a uma distância do centro da coroa.
Sugestão: Divida a coroa em aneis infinitesimais concêntricos e utilize o resultado do item anterior.
(c) Obtenha uma expressão assintótica para o potencial encontrado no item (b) no limite em que o ponto está muito distante do centro da coroa, de forma que. Interprete o resultado.
Passo 1
a)Podemos lembrar (ou olhar no formulário da prova hihi) que o potencial elétrico é
Vamos então considerar um elemento de carga infinitesimal sobre o anel.
Se a gente fizer pitágoras olhando a figura do enunciado, esse elemento vai estar a uma distância do ponto . LEMBRANDO QUE qualquer elemento do anel vai ter a mesma distância até o ponto . Sendo assim, o potencial elétrico nesse ponto infinitesimal vai ser
Agora vamos integrar para obter
Passo 2
b) Agora a gente quer o potencial elétrico produzido pela COROA. Dessa vez, vamos escolher como elemento de carga infinitesimal um anel de raio e espessura infinitesimal com o mesmo centro da coroa. Se pegarmos o resultado do item a e substituímos por e por , vamos ter o da coroa:
Bem, sabemos que a coroa está uniformemente carregada com densidade superficial de carga , então como vai ser o nosso ? Vamos lá
Mais simples do que parece né? Agora bora substituir no
Agora, como se trata de uma coroa, vamos integrar de até para encontrarmos
“Mas credo!! Que integral difícil pra resolver no meio da prova!!” Relaaaxa que o resultado dela também ta lá no formulário da prova :)
Se lembrarmos que , ainda podemos escrever como
Passo 3
c) Vamos começar reescrevendo o potencial elétrico da coroa (obtido no item b) assim:
Como , vamos utilizar a expressão binomial que está no formulário para reescrever a expressão acima como
Multiplicando o numerador e o denominador por , temos que
Mas peraí, a carga total da coroa é , então vamos substituir no numerador :D
Resposta
a)
b)
c)