Densidade de Carga, Lei de Gauss, Potencial Elétrico
Na figura abaixo temos uma esfera não condutora de raio carregada com uma carga distribuída uniformemente em todo o seu volume (densidade volumétrica de cargas constante e igual a ).
Calcular:
O potencial para e ;
Qual é a diferença de potencial entre um ponto da superfície da esfera, e o potencial no centro da mesma ?
Obter a componente do campo elétrico para e ;
Passo 1
O potencial para e ;
-
Para essa geometria, é uma boa calcularmos o potencial a partir do campo elétrico.
O campo elétrico gerado por uma esfera de raio e de carga , na região é dado por:
-
Novamente, a ideia e usar a relação:
Entretanto, desde o infinito até nós temos duas regiões distintas, que são as regiões fora e dentro da esfera. Sendo assim:
O primeiro termo nós já calculamos ali em cima, logo:
Agora só temos que saber como o campo elétrico se comporta dentro da esfera com carga uniformemente distribuída.
Passo 2
Esse problema é clássico de Lei de Gauss, que é dada por:
Dada a geometria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss:
Onde é a área da nossa gaussiana que, pelo geometria do problema, é uma esfera, logo:
O último detalhe aqui é que, novamente, pela geometria esférica do problema, o campo elétrico estará sempre na direção radial. Sendo assim:
A região engloba apenas parte da esfera isolante de carga .
O problema nos disse que a carga está uniformemente distribuída. Isso significa que podemos calcular com uma regra de 3 simples, usando os volumes:
Assim, o campo elétrico para esta região será:
Ok! Agora vamos voltar ao problema.
Passo 3
Agora é só organizar a bagunça:
Portanto, o potencial na região é dado por:
Passo 4
Qual é a diferença de potencial entre um ponto da superfície da esfera, e o potencial no centro da mesma ?
Superfície da esfera:
No centro da esfera:
Assim, a diferença de potencial será:
Passo 5
Obter a componente do campo elétrico para e ;
Por definição:
O problema já nos disse que:
Logo:
Agora sim!
-
Assim, o campo elétrico na direção , , será:
-
Assim, o campo elétrico na direção , , será:
Resposta