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Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

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Enunciado

a ) Considere um disco de raio a carregado uniformemente com carga Q . Calcule o potencial elétrico ao longo do eixo a uma distancia x do centro do disco. Adote potencial nulo no infinito.

b ) Calcule o potencial elétrico no ponto O com coordenadas x = y = z = 0 devido a um cilindro de altura 2 a e raio de base a , uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga ρ . A base do cilindro está contida no plano y z e seu eixo coincide com o eixo x , conforme a figura. Sugestão: Decomponha o cilindro em discos elementares de altura d x e utilize o resultado do item (a).

Passo 1

a ) Considere um disco de raio a carregado uniformemente com carga Q . Calcule o potencial elétrico ao longo do eixo a uma distancia x do centro do disco. Adote potencial nulo no infinito.

Vamos começar calculando o potencial d V de um elemento infinitesimal do disco.

d V = 1 4 π ϵ 0 d q x 2 + r 2

Vamos aproveitar a simetria cilíndrica do problema e dizer que esses elementos infinitesimais de carga d q são anéis muito finos. Assim, podemos dizer que:

d q = σ 2 π r   d r = Q π a 2 2 π r   d r

d q = 2 Q a 2   r   d r

0 < r < a

Agora já podemos calcular o potencial. Substituindo isso na expressão de d V , arrumando e integrando esse cara, temos o seguinte:

V = 2 Q 4 π ϵ 0 a 2 ∫ 0 a r x 2 + r 2 d r

Não tem motivo pra ficar nervoso... essa é uma integral que costuma aparecer bastante, então a resposta dela provavelmente está no formulário da prova.

V = 2 Q 4 π ϵ 0 a 2 x 2 + r 2 0 a

V = 2 Q 4 π ϵ 0 a 2 x 2 + a 2 - a

V = Q 2 π ϵ 0 a 2 x 2 + a 2 - a

Passo 2

b ) Calcule o potencial elétrico no ponto O com coordenadas x = y = z = 0 devido a um cilindro de altura 2 a e raio de base a , uniformemente carregado com densidade volumétrica de carga ρ . A base do cilindro está contida no plano y z e seu eixo coincide com o eixo x , conforme a figura. Sugestão: Decomponha o cilindro em discos elementares de altura d x e utilize o resultado do item (a).

Decompondo o cilindro em discos de altura d x e carga d q , o seu potencial d V pode ser escrito como:

d V = d q 2 π ϵ 0 a 2 x 2 + a 2 - x  

Como o cilindro possui densidade volumétrica de carga ρ , podemos usar essa densidade para encontrar uma expressão para d q :

d q = ρ   d V o l = ρ π a 2 d x

Para descobrir o potencial total do cilindro no ponto O , temos agora apenas que integrar esse cara:

V O = ρ π a 2 2 π ϵ 0 a 2 ∫ 0 2 a x 2 + a 2 - x d x = ρ 2 ϵ 0 ∫ 0 2 a x 2 + a 2 - x d x

Essa integral que aparece agora:

∫ x 2 + a 2 d x

É outra integral dessas que você olha, fica nervoso, mas antes de surtar, tem que dar uma olhada no formulário pra ver se a integral está por lá, beleza?

Voltando ao problema:

V O = ρ 2 ϵ 0 x x 2 + a 2 2 + a 2 2 ln ⁡ x + x 2 + a 2 - x 2 2 0 2 a

Substituindo os valores:

V O = ρ 2 ϵ 0 2 a 4 a 2 + a 2 2 + a 2 2 ln ⁡ 2 a + 2 a 2 + a 2 - 2 a 2 2 - 0 + a 2 2 ln ⁡ a - 0

V O = ρ a 2 2 ϵ 0 5 + 1 2 ln ⁡ a 2 + 5 - 2 - 1 2 ln ⁡ a

E finalmente!

V O = ρ a 2 2 ϵ 0 5 - 2 + 1 2 ln ⁡ 2 + 5

Resposta

a )

V = Q 2 π ϵ 0 a 2 x 2 + a 2 - a

b )

V O = ρ a 2 2 ϵ 0 5 - 2 + 1 2 ln ⁡ 2 + 5

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