Uma esfera uniformemente carregada em todo seu volume com uma carga tem um raio de . Quanto vale o potencial na superfície da esfera e no seu centro com relação ao infinito.
e ;
e zero;
e zero;
e ;
e ;
Passo 1
Na superfície da esfera, basta utilizar a expressão:
Onde:
Logo:
Passo 2
Para calcular o potencial no centro da esfera, vamos começar calculando o potencial elétrico da esfera.
Pra isso, vamos começar a partir do potencial de um pedaço da esfera com carga , dado por:
Como a carga está uniformemente distribuída, vamos usar a densidade volumétrica de carga na esfera, dada por:
Onde esse pedaço infinitesimal da esfera é uma casca esférica com volume dado por:
Além disso, a densidade volumétrica de carga pode ser escrita como:
Onde é o raio da esfera e é a carga total da mesma.
Dessa forma, substituindo e na expressão de , teremos:
Passo 3
Voltando para expressão do potencial elétrico , substituindo , agora temos:
Como estamos trabalhando na região no interior da esfera, vamos integrar esse cara entre e , teremos:
Passo 4
No centro da esfera, , logo:
Onde:
Logo:
Resposta
e ;