Um fio de comprimento foi carregado de modo a dotar a metade superior com densidade linear de carga e a metade inferior com densidade linear de carga , onde é uma constante positiva.

1. Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) num ponto situado a uma distância do fio, na direção perpendicular a partir de seu ponto médio.
2. Obtenha o potencial elétrico no ponto supracitado.
3. Mesmo para grandes distâncias () o campo elétrico não é exatamente nulo. Qual é o comportamento do campo elétrico, como função de , nessa aproximação? Interprete seu resultado

Agora estabelecemos a expressão do campo de uma carga puntiforme:

E a questão se resumo à integrar esse campo em toda a barra:

Agora partiu decompor o campo pra podermos seguir com a questão, sendo que à partir desse momento não precisamos nos preocupar com a componente e nem com a barra debaixo, pois é só dobrar o campo. Fazendo pra :

Pela semelhança de triângulos:

Já colocamos o sinal de menos para definir a orientação, pois sabemos que em o campo aponta pra baixo:

Substituindo o valor do seno:

Então temos a integral:

Como o campo é o dobro de uma barra só:

Trocando o diferencial de carga com a definição da densidade:

E substituindo a distância :

Temos:

Arrumando:

Resolvendo por substituição simples:

A integral indefinida fica:

Voltando para e :

Substituindo no campo:

E obtemos nossa expressão:

Portanto para achar o vetor basta multiplicar por :

Agora vamos obter o potencial elétrico das duas maneiras possíveis. Primeiramente integrando o , temos:

Como são duas densidades diferentes, são duas expressões para o potencial:

Arrumando:

Como é o caso da distância de pro ponto ser a mesma de , a função é par, logo:

Ou seja, em qualquer ponto do eixo teremos potencial zero. Se fosse o caso de existir uma barra só ao invés de duas, teríamos a integral:

Que é uma integral medonha que resulta em:

Reze pra não cair na sua prova.

Alternativamente, outro jeito um pouco mais fácil de resolver é pela fórmula da diferença de potencial:

Escolhendo um caminho ao longo de partindo do infinito temos:

Note que se partir do infinito o vetor aponta da direita pra esquerda, por isso o

Ao passo que o campo é:

Logo:

Agora cuidado, o mais importante é você resolver o produto escalar primeiro. Pra sair do produto escalar os módulos não são relevantes, basta analisar os vetores que dão as direções. Neste caso e :

Logo, esse produto escalar zera tudo:

Show? = ]

Finalmente vamos brincar de Séries de Taylor. Zoeira esta questão, porque eles não deram a fórmula:

Ou seja, se for muito menor que é válida a aproximação acima. Agora temos que manipular os dados pra poder substituir essa fórmula aí. O enunciado nos dá:

Ou seja, dividindo por em ambos os lados vamos tentar forçar algo parecido com :

Agora manipulamos a equação do campo:

Dentro da raiz vamos forçar aparecer o :

Substituímos e colocamos o módulo de em evidência:

Agora vamos usar a aproximação do Taylor sendo , pois temos que:

Substituindo de volta:

Se tratarmos de somente:

E é isso aí. Faltou analisar. E aí, como faz? Bom, a análise do gabarito está muito além do que uma pessoa normal conseguiria fazer sozinha. O macete neste caso é olhar por alto a configuração das cargas e ver com o que essa coisa é mais parecida.

São duas barras de mesmo comprimento e com cargas opostas, logo o que mais se assemelha com isso na nossa Fauna eletromagnética é o dipolo elétrico. Justo? Na prova você diria isto e, provavelmente, ganharia todos os pontos. Não teria sentido investigarmos além disso para a nossa análise pois é esforço demais para uma questão improvável de cair, valendo poucos pontos, e que na hora da prova você mal vai lembrar. O truque pra passar em Física III é se ater aos “grandes pontos”.