Uma meia coroa circular isolante de espessura desprezível (veja a figura abaixo), com raio interno R 1 e raio externo R 2 , está carregada com uma carga total Q > 0. A densidade superficial de carga não é uniforme e vale σ   =   α / r 2 , onde α é uma constante positiva e r   é a distância do centro da coroa até qualquer ponto sobre ela.

Considere o potencial nulo no infinito.

a) Determine a expressão para a carga total Q na meia coroa em função de   α ,   R 1   e   R 2 .

b)Obtenha uma expressão para o potencial elétrico V P no ponto P situado no centro da meia coroa, em função de α ,   R 1   e   R 2 .

c) Considere agora uma aproximação em que o raio interno R 1 se iguale ao raio externo R 2 (a meia coroa circular se transforma em um meio anel). Neste caso, vamos considerar uma densidade linear de carga uniforme e igual a λ 0 . Calcule, nesta condição:

i) a carga total Q do meio anel;

ii) a expressão para o potencial elétrico V P no ponto P no centro do anel.

d)Calcule o trabalho que deve ser realizado por um agente externo para transportar uma carga Q 0 do infinito até o ponto P.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você!

Letra (a):

Temos uma quantidade de carga distribuída em um semi anel, então precisamos integrar sobre toda superfície para achar o valor da carga total.

A densidade superficial é a divisão da carga total pela área, então temos:

d Q = σ d A

Os limites de integração são:

R 1 < r < R 2

0 < θ < π

Juntando tudo em uma integral teremos:

Q = ∫ 0 π ∫ R 1 R 2 α r 2   r d r   d θ

A densidade é independente do ângulo, então essa integral podemos resolver:

Q = π α ∫ R 1 R 2 d r r

Q = π α ln ⁡ R 2 R 1

Beleza até aqui?

Passo 2

Letra (b):

O diferencial de potencial é:

d V = k 0 d q r

O diferencial de carga é:

d q = σ d A = α r 2 r d r d θ

E juntando tudo isso temos:

V = ∫ R 1 R 2 k 0 α r 2 d r   d θ = k 0 α π ∫ R 1 R 2 d r r 2  

V = α π k 0 - 1 r R 1 R 2 = α π k 0 - 1 R 2 + 1 R 1  

V = α π k 0 R 2 - R 1 R 2 R 1    

Passo 3

Letra (c):

  1. Quando temos um fio, a densidade é linear e tem valor de λ 0 . O diferencial de comprimento no ponto que r = R é d l = R d θ , e temos que 0 < θ < π . O diferencial de carga é d q = λ 0 d l . Agora é só integrar para determinar a carga total:
  2. Q = ∫ 0 π λ 0 ( R d θ ) = λ 0 R ∫ 0 π d θ

    Q = λ 0 R π

  3. Agora a distância do ponto P até o fio é constante e vale R . Assim o potencial V é:

d V = k 0 d q r = λ 0 R d θ R

V = k 0 ∫ 0 π λ 0 R d θ R

V = k 0 λ 0 π

Passo 4

Letra (d):

O trabalho vai ser a variação da energia potencial:

W = - Δ V = - 0 - k 0 λ 0 π = k 0 λ 0 π

Espero ter ajudado!

Resposta

a ) Q = π α ln ⁡ R 2 R 1

b ) V = α π k 0 R 2 - R 1 R 2 R 1

c ) Q = λ 0 R π ,   V = k 0 λ 0 π

d ) k 0 λ 0 π

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