Um cilindro condutor infinito ao longo do eixo de raio tem densidade de carga constante . Calcule o potencial a uma distância do eixo do cilindro, dado que a uma distância ele vale . O potencial dado poderia ter sido no infinito?

Pela configuração do campo, o seu módulo é constante em toda parte lateral da Gaussiana:

E temos então a área da lateral com nossa integral:

A expressão para a área lateral é dada pela fórmula:

Logo, temos:

Temos uma densidade linear constante, portanto é válido dizer que a razão entre a carga interna à Gaussiana e o comprimento dela é igual à densidade:

Logo temos:

Substituindo na expressão do campo:

Ainda pela questão da simetria, temos que o campo vai ter somente essa componente radial, então:

Partindo do ponto dado para um ponto arbitrário com distância até o centro, escolhemos um caminho qualquer.

O caminho pode sim ser qualquer um, como na figura, mas se você quiser evitar do examinador da prova exigir uma demonstração desse fato, talvez você queira particularizar e dizer que o caminho é radial, daí nesse caso temos que o campo e o seu vetor são sempre paralelos ao longo do caminho. Aplicando na fórmula, temos:

Arrumando:

E é isso. Mas e aí, poderia ter sido arbitrado no infinito esse potencial inicial? Não, pois a integral não aceitaria . Você estaria tentando fazer:

Coisa que não daria certo, pois é infinito também.