UFRJ- Física 3 – SC 2018.2 - DIURNO - 2
Um cilindro condutor maciço, infinito, de seção transversal circular de raio possui uma densidade superficial de carga constante e positiva. Ele se encontra em equilíbrio eletrostático.
- Determine o vetor campo elétrico produzido pelo cilindro em um ponto a uma distância de seu eixo. Considere os casos dentro e fora do cilindro.
- Determine o potencial elétrico produzido pelo cilindro no mesmo ponto. Considere que o potencial vale sobre a superfície do cilindro.
Passo 1
a) A primeira coisa aqui é notarmos que o cilindro é condutor e está em equilíbrio eletrostático, o que significa que as cargas que ele possui estarão localizadas todas sobre a sua superfície e o campo elétrico em todos os pontos dentro do cilindro será zero:
Depois, outra informação muito importante, é que o cilindro está uniformemente carregado e é infinito. Isso significa que a distribuição de cargas tem simetria cilíndrica. Então, se transladarmos o cilindro ao longo do eixo longitudinal dele e fizermos uma rotação em torno desse eixo, a distribuição de cargas permanece exatamente a mesma.
Essas características da simetria cilíndrica da distribuição de cargas garantem algumas propriedades para o campo elétrico gerado por ela. A primeira delas é que o campo elétrico não depende de , posição ao longo do eixo por onde passa o eixo longitudinal do cilindro, e também não depende do ângulo de rotação em torno desse eixo.
O campo elétrico vai depender apenas da distância perpendicular até o eixo do cilindro e vai apontar ao longo da direção radial . Ou seja, o vetor campo elétrico vai ser do tipo:
Passo 2
a) Continuação...
Vamos utilizar a lei de Gauss, que diz o seguinte:
em que é a carga total que está dentro da superfície gaussiana .
Para encontrar a expressão para o módulo do campo, precisamos escolher uma superfície gaussiana conveniente, que será nossa superfície fechada. Nesse caso, vamos tomar um cilindro de raio e comprimento concêntrico ao cilindro condutor.
Como é uma superfície fechada, então precisamos analisar o fluxo do campo elétrico através de toda a superfície fechada, ou seja, através de sua área lateral e também através da área das tampas. Mas algumas coisas se simplificam nessa nossa análise.
Como sempre devemos colocar o vetor área perpendicular à superfície, lateral ou das tampas, e apontando para fora dela e o campo elétrico é sempre perpendicular ao fio, então o fluxo elétrico através das tampas será nulo, já que ele é perpendicular a nas tampas. Por isso, basta olharmos para o fluxo através da superfície lateral do nossa gaussiana cilíndrica.
Bom, como discutimos, o elemento de área lateral é escrito como e o campo como . Por isso, o fluxo do campo elétrico será
em que é a carga que está dentro da superfície gaussiana.
Agora, como o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície lateral da gaussiana, podemos colocar para fora da integral e obter:
Portanto, o vetor campo elétrico é representado como:
Passo 3
b) Para calcularmos a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer e , temos que aplicar a seguinte relação:
Se e são dois pontos quaisquer dentro do condutor, onde , então:
ou seja, o potencial é constante dentro do condutor. Mas como o potencial na superfície é igual a , então, dentro do condutor,
mostrando que o potencial dentro do condutor é constante e igual ao potencial de sua superfície, que vale .
Passo 4
b) Continuação...
Vamos ver como fica o potencial fora do condutor, ou seja, em pontos a um distância . Para pontos dessa região, encontramos que o campo elétrico é dado por
Para calcularmos o potencial, podemos escolher o elemento de comprimento como sendo paralelo ao campo elétrico ao longo da direção radial, ou seja, .
Tomando o ponto como sendo um ponto arbitrário sobre a superfície do cilindro, então e o potencial para , então:
que vai resultar em