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Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Corpos Extensos

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Enunciado

Potencial Elétrico

A figura abaixo representa um disco não condutor com um furo central com raios a e b . O disco está carregado com densidade superficial de carga σ .

  1. Calcule o potencial elétrico V z no ponto P , a uma distância z do disco situado sobre o seu eixo central;
  2. A partir do potencial encontrado no item a , calcule o vetor campo elétrico E → z no ponto P ;
  3. Fazendo simultaneamente a = 0 e b tendendo para infinito b → ∞ , que vetor campo elétrico resulta?

Passo 1

  1. Calcule o potencial elétrico V z no ponto P , a uma distância z do disco situado sobre o seu eixo central;

    2. Vamos começar imaginando um anel de carga d q e raio r que produz o seguinte potencial elétrico no ponto P , a uma distância d do anel.

    d V = 1 4 π ϵ 0 d q d

    Onde d = r 2 + z 2 . Logo:

    d V = 1 4 π ϵ 0 d q r 2 + z 2

    Nós podemos associar a carga d q com a densidade superficial de carga através da relação:

    d q = σ 2 π r   d r

    Onde 2 π r   d r é a área do anel.

    Logo, substituindo de volta na fórmula.

    d V = 1 4 π ϵ 0 σ 2 π r   d r r 2 + z 2

    d V = σ 2 ϵ 0 r   d r r 2 + z 2

    Agora é só integrar esse cara, onde a ≤ r ≤ b :

    V z = σ 2 ϵ 0 ∫ a b r   d r r 2 + z 2

    Esse cara aqui é resolvido por substituição simples, chamando u = r 2 + z 2 e d u = 2 r   d r . O resultado disso será:

    V z = σ 2 ϵ 0   r 2 + z 2 a b

    V z = σ 2 ϵ 0   b 2 + z 2 - a 2 + z 2

    Passo 2

  2. A partir do potencial encontrado no item a , calcule o vetor campo elétrico E → z no ponto P ;

    3. Por definição, podemos associar o campo elétrico com o potencial elétrico através da relação:

    E = - d V d z

    Logo:

    E = - σ 2 ϵ 0 d d z   b 2 + z 2 - a 2 + z 2

    E = - σ z 2 ϵ 0   1 b 2 + z 2 - 1 a 2 + z 2

    E = σ z 2 ϵ 0   1 a 2 + z 2 - 1 b 2 + z 2

    O vetor campo elétrico, nesse caso, vai sempre apontar no sentido do eixo z , logo:

    E → = σ z 2 ϵ 0   1 a 2 + z 2 - 1 b 2 + z 2   k ^

    Passo 3

  3. Fazendo simultaneamente a = 0 e b tendendo para infinito b → ∞ , que vetor campo elétrico resulta?

A expressão do campo elétrico que achamos ali em cima foi:

E → = σ z 2 ϵ 0   1 a 2 + z 2 - 1 b 2 + z 2   k ^

Quando a = 0 e b → ∞ :

E → = σ z 2 ϵ 0   1 z   k ^

E → = σ 2 ϵ 0   k ^

Que corresponde ao campo elétrico formado por uma placa infinita.

Resposta

a.

V z = σ 2 ϵ 0   b 2 + z 2 - a 2 + z 2

b.

E → = σ z 2 ϵ 0   1 a 2 + z 2 - 1 b 2 + z 2   k ^

c.

E → = σ 2 ϵ 0   k ^

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