Uma esfera, de raio e carga total , possui uma densidade volumar (resultante) de carga estacionária, mas não uniforme, dada por:

Onde é uma constante e é a distância até o seu centro. Essa esfera está envolta por uma casca esférica condutora, concêntrica, de raio interno e raio externo , com carga total , em equilíbrio eletrostático.

1. Expresse a constante como função de e de .
2. Quais são as densidades superficiais de carga na casca esférica condutora?
3. Determine o campo elétrico nas quatro regiões:
4. Determine o potencial eletrostático nas quatro regiões supracitadas, tomando-o como zero no infinito.

Sabemos também que:

Substituindo:

Portanto:

Como se queria o em função das outras constantes, isolamos:

Agora resolvemos a clássica questão das densidades superficiais. Temos que o condutor tem carga total , portanto, por conservação de cargas:

: Carga na superfície externa

: Carga na superfície interna

Na parte maciça do condutor não pode haver campo além de que a carga interna à Gaussiana é proveniente da esfera maciça e da carga da superfície interna , portanto, pela Lei de Gauss:

Aplicando na equação de conservação de cargas:

Agora basta dividir pelas áreas para obter as densidades:

Analogamente:

Dando prosseguimento, agora partimos para calcular o campo em todas as regiões. Na primeira região, vemos um corte da Gaussiana, que é uma esfera:

Enunciamos a Lei de Gauss:

Onde, por conta da configuração do campo, que é radial e possui simetria esférica, a nossa é escolhida como uma esfera de raio arbitrário .

Em função disto, em toda ela o vetor é paralelo ao vetor , portanto:

Além disso, ainda em função da configuração do campo, o módulo deste é constante em toda :

Logo podemos tirar o campo da integral:

Segue que:

Nos resta calcular a carga interna à Gaussiana.

Integrando a densidade vezes o diferencial de volume em toda a Gaussiana, obtemos a quantidade de carga interna à ela:

Ao passo que sabemos o valor da constante :

Substituindo na expressão do campo e multiplicando pelo vetor diretor :

Já na segunda região:

Analogamente ao passo 3, nós escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário , logo:

Ao passo que a carga interna é a carga total da esfera de raio :

Substituindo e multiplicando pelo vetor diretor:

Agora estamos na terceira região:

De acordo com o enunciado estamos dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, portanto o campo é necessariamente nulo:

Finalmente, fazemos a quarta e última região:

Analogamente ao passo 3, pela Lei de Gauss, escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário , portanto:

A carga interna é a soma de todas as cargas, portanto:

Logo:

Aplicando a equação da diferença de potencial eletrostático:

Escolhendo um caminho radial partindo do infinito e chegando à um ponto na região , temos que o paralelismo entre e some com aquele produto escalar:

Integra:

E obtemos o nosso potencial para :

Agora passamos para a região . Como temos que partir de um ponto de potencial conhecido, vamos partir de :

Onde o é obtido pela expressão anterior:

E o campo nós obtivemos do Passo 9:

Obtemos então nossa expressão do potencial nessa região:

Mesmo esquema. Vamos para a região . Partindo de até um ponto arbitrário, o campo nós obtivemos do Passo 8:

O potencial nós tiramos na expressão anterior:

Substituindo , dá no mesmo porque não depende de :

Arrumando, obtemos o nosso potencial para a região :

Partindo agora para a última região . Saímos do ponto onde conhecemos o potencial, e o campo nós tiramos do Passo 7:

O potencial vem do passo anterior:

Quando for ficando feio assim acho que não tem problema substituir :

Se quiser arrumar, à vontade:

Ufa, enfim!