(Capítulo 11.4 – Exercício 46) Se ∑ a n e ∑ b n forem ambas séries convergentes com termos positivos, é verdade que ∑ a n b n também será convergente?

Passo 1

Oieee galera, tudo certinho?

Ó, temos duas séries ∑ a n e ∑ b n e sabemos que as duas convergem com termos positivos, e aí queremos saber se ∑ a n b n , ou seja, a multiplicação dos termos gerais, também converge

Para que ∑ a n e ∑ b n convirjam, é necessário que lim n → ∞ ⁡ a n = 0 e lim n → ∞ ⁡ b n = 0 , então, focando só na primeira série, a partir de um certo n , a n < 1 , e podemos dizer que após esse valor de n , a n b n < b n , já que se multiplicarmos um numero por outro menor que 1 , ficamos com um número menor.

Passo 2

Como após esse valor de n temos que a n b n < b n e antes desse valor temos n termos na séries, sendo n um número finito, a soma destes termos não implicam na divergência da soma. Para os valores subsequentes temos que, como ∑ b n converge, pelo teste da comparação ∑ a n b n , também converge.

E fimmm

Resposta

Sim.

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