Teste da comparação no limite
Determine se a série converge ou diverge
Passo 1
A primeira ideia é ver se o limite do termo geral vai para , como esse cara é levemente estranho não conseguimos fazer “só no olho” então vamos fazer o limite mesmo
Isso é uma indeterminação, vamos multiplicar esse cara pelo conjugado, vai ficar assim
Como vamos ter
É Deu zero mesmo, então não podemos afirmar se essa série converge ou diverge
Passo 2
E agora o que fazer? Repara que temos algo parecido com um polinômio dentro da raiz, vamos colocar o cara de maior grau para fora
Agora podemos colocar aquele em evidência
Aquele cara dentro do parêntese vai para quando , isso faz com que o teste da comparação no limite não funcione com o cara que está do lado de fora.
Mas em vez de usar esse cara, vamos usar ele na forma que está no limite lá em cima
Como temos uma soma ali, quando fizermos as mesmas coisas vai dar um valor certinho e o teste da comparação no limite vai estar valendo, vamos arrumar esse novo cara primeiro
Agora se compararmos com vamos ter o limite dando , vamos ver isso
E
Assim
Então a nossa série vai ser o mesmo comportamento da série
Essa é uma série com então ela diverge, assim a nossa série do enunciado também diverge.
Resposta
Diverge