Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência da série abaixo:
Passo 1
OK, se aplicarmos o teste da divergência, teremos essa situação:
Ou seja, não vamos chegar em nenhuma conclusão, pois encontramos limite zero.
Então, é interessante usarmos o teste na comparação no limite para podermos chegar numa conclusão. O teste basicamente nos diz que para dois termos positivos (nosso caso), temos que se:
Sendo um número finito, então as duas séries associadas a e convergem ou divergem juntas.
Aqui, podemos comparar com o termo da série harmônica (), que nos dará o limite:
Vimos que:
E também:
Logo, temos uma situação do tipo e podemos usar a regra de L’Hôpital. Derivando em cima e embaixo, vamos ter:
O problema aqui pode ser justamente:
Para isso, vamos considerar:
Assim, vamos ter:
E então, derivamos implicitamente:
Logo:
Como definimos justamente:
Temos que:
E podemos substituir isso no nosso limite, ficando:
Então o limite deu um número finito, logo, como a série a harmônica diverge, temos que
Diverge também.
Passo 2
Além disso, todos os termos da série são positivos, logo a série absoluta é igual a série dada e, como a série diverge, a série absoluta também irá divergir.
Resposta
Diverge.