Decida se a série converge condicionalmente ou absolutamente ou diverge
Passo 1
Para olharmos a convergência dessa série vamos começar vendo se ela é absolutamente convergente, ou seja, a convergência de
Assim temos
Olhando para essa série é interessante começarmos usando o teste da divergência, vamos calcular o seu limite
Vamos dar uma arrumada nisso
Eu fiz isso porque fazendo temos naquele seno o limite fundamental, que seria
Assim como o cara dentro do seno é igual ao cara embaixo do seno vamos ter
Então o teste da divergência não ajudou.
Passo 2
Vamos pensar em outra coisa, seria interessante tentar comparar essa série com uma série, que é uma série que conhecemos, mas não sabemos qual, então vamos fazer a conta para uma série qualquer e depois fazendo as contas vemos qual séries podemos escolher.
Tentar comparar pelo teste da comparação não é algo fácil de fazer aqui, então vamos tentar usar o teste da comparação no limite dessa série com
Assim vamos ter
Passo 3
Vamos agora aplicar o teste da comparação no limite com e , pelo teste da comparação no limite queremos
Esse limite vai ficar dependendo do , vamos começar considerando , assim
Isso é uma indeterminação, vamos fazer
Além disso vamos fazer a mudança
Isso vai facilitar nossas contas porque aquele seno fica mais agradável.
Assim temos
Nosso limite vai ficar
Vamos juntar tudo e deixar aquele módulo do lado de fora
Então estamos interessados em
Vamos dar uma arrumada nisso
E vamos ter
Assim podemos usar a regra de L’hopital
Vamos aplicar L’Hospital de novo, lembrando que consideramos então existe a derivada de
Mas o nosso teste da comparação no limite precisa dar um número maior que para dar certo, se tivermos aquele limite ali de cima fica , porque teríamos , e embaixo sobraria um número, mas queremos um número maior que , então vamos fazer , que assim continuamos tendo no denominador
Assim o nosso limite vai ficar , e temos que aplicar L’Hopital de novo
Caimos numa situação parecida, só que dessa vez nosso numeador é , se nosso denominador for um número teríamos um número afinal, então vamos fazer
Assim teremos
E vamos ter nosso limite sendo
E isso é um número, assim a nossa série tem o mesmo comportamento que uma série. Assim temos
E
E o limite vai para
Lembrando que queremos o módulo disso.
Passo 3
Pelo teste da comparação no limite vimos que
Assim a série dos termos em módulo tem o mesmo comportamento da série com e como essa série converge, vamos ter que a nossa série converge absolutamente.
Resposta
Converge absolutamente