Considere a série ∑ a n , sendo que:

a 1 = 1   e   a n + 1 = 1 + a r c t a n a r c t a n   n   n * a n

Determine se a série ∑ a n converge ou diverge.

Passo 1

Opa pessoal, aqui quem fala é o Rodolpho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Bem, aqui temos uma questão bem padrão de séries.

Para resolver essas séries precisamos utilizar alguns critérios de convergência, vamos utilizar o da comparação no limite por ser o mais simples, belezinha?

O critério de convergência da comparação no limite diz que uma série é convergente se o seguinte limite for verdadeiro:

a n a n + 1 < 1  

Iae sacou? Podemos começar a colocar a mão na massa?

Então vamos lá.

Passo 2

Primeiramente precisamos encontrar o argumento do limite, para isso precisamos apenas organizar o termo a n dada na questão.

a n + 1 = 1 + a r c t a n a r c t a n   n   n * a n

Portanto temos que:

a n a n + 1 = n 1 + a r c t a n ⁡ ( n )

Portanto temos que:

a n a n + 1 =   n 1 + a r c t a n ⁡ ( n )   = l i m n →   ∞ n l i m n →   ∞ 1 + a r c t a n ⁡ ( n ) = l i m n →   ∞ n 1 + π 2 = ∞

Ou seja, temos que a série maior é divergente, logo a menor também é divergente.

Resposta

Temos que a série é divergente pelo critério da comparação no limite.

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