Determine para quais valores de a série:
É convergente e para quais é divergente.
Passo 1
Sempre que tivermos raiz no numerador será meio complicado de analisar. Então a boa é ajeitar a função de forma que eliminemos isso e uma forma de sumir com essa raiz do numerador é multiplicando pelo conjugado. Então vamos lá,
Agora vamos ter
Passo 2
Galera, neste caso, você pode tentar aplicar o teste da divergência e da comparação, mas já adianto que nenhum dos dois será conclusivo. Então vamos para o teste da comparação no limite.
Repara que nós temos um -série, então vamos pensar em uma outra -série parecida para comparar. Vamos comparar com a série
Assim vamos ter
Usando o teste de comparação no limite,
Para resolver isso vamos colocar em evidência
Assim, sabemos que a condições de convergência dessas séries são as mesmas!
Passo 3
Agora que sabemos que ela tem a mesma convergência que
Vamos analisar essa série, repara que ela é uma -série, assim ela converge para:
E diverge para:
Isso nos diz que nossa série