UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 1
Considere a série , selecione a resposta correta
- A série é divergente por comparação com
- A série é convergente por comparação com
- A série é convergente por comparação com
- A série é divergente por comparação com
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa série aqui
E pediu para dizermos se ela é convergente ou divergente, e com o que comparamos para tirar tal conclusão
Mas como assim comparar duas coisas e concluir que elas convergem ou divergem?
Estamos falando do teste da comparação dos limites!
Ele fala exatamente sobre isso: sabendo o comportamento de uma série, podemos afirmar o comportamento de outra se compararmos os limites delas!
Em resumo o Teste da Comparação dos Limites é
Então a ideia é encontrar uma série que seja parecida com a série dada e fazer o limite quando
Se o resultado for um número, então ambas as séries têm o mesmo comportamento!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A série dada foi essa aqui
A ideia é pegar algum elemento da série que temos e associar com alguma série que conhecemos o comportamento!
Você vê aquele dando sopa? Então é com uma série assim que vamos comparar! Sabemos que
É uma série convergente, pois é do tipo série geométrica com razão menor do que 1
Beleza?
Assim nosso
O teste da comparação dos limites nos diz para calcular o limite de , então antes de mais nada vamos calcular essa razão
Agora é #partiu aplicar o teste!
Passo 3
Nosso próximo passo é calcular o limite da razão quando :
Aplicando a regra de L’hopital e avaliando novamente o limite temos
Olha só o que encontramos! Um número finito positivo!
Pelo teste da comparação dos limites, caso seja encontrado um valor finito e positivo, então ambas as séries possuem o mesmo comportamento
Como a série que comparamos é convergente, então concluímos que
É convergente por comparação com .
E a alternativa que nos diz isso é a (b)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!