Questão 2: Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Passo 1
EPA! Uma série alternada! Então podemos pensar no Teste da série alternada (talvez você conheça como teste de Leibniz ). Mas o nome não importa muito, o que importa é como vamos aplicar esse teste! Vem comigo, então =)
Passo 2
Bem, o teste nos pede duas condições:
- A série tem que ser alternada. Pra nossa alegria ela é! Afinal temos um alternando o sinal dos termos.
- Segundo, temos que ter o termo sendo maior que , mas ele tem que ser decrescente!
Vaja que se plicarmos o limite...
Agora só resta saber se é um termos decrescente! Vem comigo!
Passo 3
Veja bem que ser decrescente significa necessariamente que a derivada da função contínua correspondente à sequência deve ser negativa:
Como que representa o , vai de ao infinito positivo, então valor do cosseno e do é positivo sempre levando a derivada...
O que significa que é sempre decrescente para de ao . Da mesma forma é ... Decrescente!
Assim, pelo teste de Leibniz, a série a alternada
Passo 4
MAS CALMA JOVEM! Não acabamos a análise ainda, pois o nosso problema nos pediu para verificar também quanto à convergência absoluta! Será que a série converge absolutamente?
Lembrando que convergir absolutamente significa...
No nosso caso, é ...
Como
O módulo é sempre , já o seno também pode sair do módulo já que o seno é positivo para valores de até !
Então perguntar se a série do enunciado converge absolutamente é perguntar se essa série de converge. Vamos ver se isso é verdade?
Passo 5
Assim, essa análise que vamos fazer agora eu preciso te alertar que você precisa ter um feeling da resposta. Por exemplo, nesse caso, como tem a função (termo da série harmônica), podemos ter o feeling de que a resposta dessa série diverge!
Para ver se isso é verdade, podemos comparar no limite! No caso, vamos comparar o termo da série que estamos testando, com o termo da harmônica...
Fazendo uma mudança rápida
Repara que esse limite ali de cima é um limite fundamental! Tabelado!
Como o limite foi um número real, pelo teste da comparação no limite, se a séria de (séria harmônica que a gente usou para comparar), se ela diverge então a nossa série comparada também diverge:
Passo 6
Com isso podemos concluir que a série
Converge, mas não absolutamente, ou seja, ela converge apenas condicionalmente, saca?