UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 1d.
1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.
d)
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Essa questão nos deu uma série dada por e nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge.
Pra isso, temos que usar algum teste que nos ajude a determinar a respeito dessa convergência. Analisando a série vemos que ela é composta por uma fração de polinômios. No numerador o polinômio é de ordem e no denominador é de ordem então certamente se usarmos o teste da divergência não vamos ter um resultado.
Tem ideia de qual teste podemos utilizar? 🤔
Quando nossa série é uma fração entre polinômios, é interessante usarmos o teste do limite-comparação.
Esse teste consiste em usarmos uma outra série que já sabemos se diverge ou converge e calcular o limite de
Se for diferente de e de , e tem o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Porém se for igual a ou igual a , não podemos afirmar nada.
Interessante, não é? 😁
Passo 2
Esse teste é muito interessante pois podemos usar série simples para , como por exemplo as p-séries.
As p-séries tem a seguinte cara: .
Se for maior que a série converge, se for menor ou igual a , a serie diverge.
Então para , vamos usar uma p-série convergente inicialmente para ver se converge.
Então substituindo e no limite, temos
Organizando
Simplificando fazendo os extremos pelos meios
Se tentarmos substituir por , iriamos cair em uma indeterminação .
Então vamos dividir o numerador e o denominador pela variável de maior ordem, no caso, .
Simplificando
Se substituirmos por agora, podemos observar que , e vão tender a , pois o que estamos fazendo é dividir um número muito pequeno por um número muuuito grande.
Como o limite de uma constante é a própria constante, temos que pelo teste que escolhemos, o limite resultou em , ou seja, diferente de e de , logo, e tem o mesmo comportamento!
Se converge, também converge!
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
Converge pelo teste do limite-comparação.