Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 5 – Exercício 8
(Capítulo 11.5 – Exercício 8) Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Faaala galera, vamos lá!
Esse exercício dá uma série pra gente:
E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?
Como temos o termo na série, isso é uma série alternada, ou seja, que vai trocando os sinais entre positivo e negativo. Então, para analisar a convergência, vamos usar o Teste da Série Alternada, nada mais justo né? Hahaha
Esse teste diz que se uma série tiver o formato
Para que ela seja convergente, deve cumprir com esses dois requisitos:
1. ;
2.
Se ela não cumprir com um deles, ela diverge, fechou?
Então vamosss
Passo 2
Temos a série
Comparando com , podemos falar que
Vamos checar cada um dos pontos do Teste. Começando pelo fato que , isto é, checar se a nossa função é decrescente. Para a nossa questão,
Comparando com , temos que
Porque quanto maior o denominador, menor o resultado da divisão (embora o numerador também seja maior, o denominador cresce mais rápido por causa do 3 no expoente)
Por isto, ela satisfaz o primeiro critério do teste!
Passo 3
Para testarmos o segundo critério, temos que analisar o limite da função. Portanto,
Como este limite tende a zero, satisfaz o segundo critério do teste. Como os dois critérios foram satisfeitos, a nossa série é convergente!
Resposta
Converge.