UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 10 – Questão 2
Em relação à sequência é correto dizer:
Escolha uma ou mais:
- É crescente
- É limitada inferiormente por e , logo diverge.
- É limitada superiormente por , logo converge.
- Converge a zero.
- É limitada superiormente por , logo diverge
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência e perguntou qual (ou quais) das afirmativas são verdadeiras. Vamos analisar uma por uma?
Afirmativa I:
“É crescente”
Para identificarmos se uma sequência é crescente ou não, precisamos identificar se os termos dessa sequência vão aumentando ou diminuindo... e para isso vamos olhar para as somas parciais. Mas como assim?
Nossa sequência tem a ver com um somatório, então cada vez que aumenta, vamos somar mais um termo para ter nosso elemento da sequência
O primeiro termo dessa sequência é quando só temos o primeiro termo, já que o somatório começa em , aí
O próximo termo vai ser:
Isto é, temos a soma de dois termos: com e :
E o terceiro termo? Bom, vai ser a soma de três termos: com e :
Beleza?
Dizemos que uma sequência é crescente quando
Agora vamos ver se a série que o problema nos dá é crescente
As somas parciais que achamos até agora são:
Então podemos imaginar que vá ser maior, pois vamos adicionar mais um termo na soma
Sendo assim essa afirmativa está correta, essa sequência é sim crescente
Tranquilo?
Passo 2
Agora vamos ver a segunda afirmativa
“É limitada inferiormente por e , logo diverge.”
Uma sequência é limitada de duas formas:
- Limitada superiormente quando os termos da sequência não atingem um valor maior do que um determinado valor
- Limitada inferiormente quando os termos da sequência não atingem um valor menor do que um certo número
No nosso caso, vemos que ela é limitada inferiormente, pois o valor mais baixo que vamos obter é com
Menos do que isso é impossível, já que os próximos termos serão encontrados através de uma soma de termos positivos
Então essa alternativa está errada
Passo 3
Nossa terceira afirmativa:
“É limitada superiormente por , logo converge.”
Como falamos no passo anterior, ela é limitada inferiormente e não superiormente. Então essa aqui também está errada.
Passo 4
A quarta afirmativa:
“Converge a zero.”
Uma sequência converge a zero quando seus termos tendem à zero
Como vimos no passo 1, os termos se afastam e zero, são pequenos, mas se afastam dele. Então essa séria não converge a zero, e está errada também.
Vamos analisar a última?
Passo 5
A quarta afirmativa:
“É limitada superiormente por , logo diverge”
Vimos nos passos anteriores que essa sequência é limitada inferiormente, então essa aqui também está errada.
Sendo assim, a única afirmativa correta é a I
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!