UTFPR – Cálculo 3 – AV3 – Questão 1c
Diga se as sequências são convergentes ou divergentes. Se convergir, encontre o limite
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!
Para dizer se uma sequência diverge ou não, precisamos calcular o limite! Mas como assim??
Limite de uma sequência é o mesmo limite de uma função! Lembra que sequência só admite inteiros positivos, certo?
Então se o limite da função (que tem a mesma cara de uma sequência que estamos analisando) existe e é um número, isso significa que nossa sequência (que leva em consideração muitos menos pontos em comparação a uma função - que leva tooodos os reais) é convergente!
Beleza?
A cara da nossa sequência é
Então para verificar se essa sequência diverge ou não vamos seguir esses passos aqui:
- Escrever uma função igualzinha a nossa sequência, só trocando
- Analisar o limite dessa função quando
- Se o limite existir e for um número: então a sequência converge. Se o limite não existir ou for , então nossa sequência diverge.
é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa sequência é
E transformando para uma função temos
Tranquilo até aqui?
Agora precisamos calcular o limite dessa função... mas pera aí! Como calculamos limite de FATORIAL???
Calma, vou te ajudar! Quando temos uma razão de fatorial podemos abrir o maior deles, e simplificar a expressão: nosso objetivo aqui é eliminar esse fatorial! Assim vamos ter uma expressão em função de mesmo, até porque fatorial em função contínua nem faz sentido!
O maior deles é , vamos abrir até chegar em :
E agora simplificar
Agora sim! Podemos calcular o limite!
Passo 3
Agora vamos calcular o limite de quando :
Beleza?
Encontramos que o limite existe e é zero! Isso significa que nossa sequência é convergente e converge para
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?