Quais das séries abaixo são condicionalmente convergentes e quais são absolutamente convergentes (justifique sua resposta):

∑ n = 1 ∞ s e n 1 n

Passo 1

Cara, esse argumento ali do seno parece a série harmônica,

∑ n = 1 ∞ 1 n

E essa série diverge. O teste da comparação no limite diz que se temos duas séries com termos positivos a n e b n , e o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n

Dá um número maior que zero, então essas duas séries tem o mesmo comportamento (as duas são divergentes ou as duas são convergentes).

Repara que argumento do seno sempre vai ser menor ou igual a 1 , porque o denominador dele só cresce, isso significa que o seno é sempre positivo. E o 1 / n , o termo da harmônica, também é sempre positivo. Podemos então usar esse teste nesses caras!

Passo 2

Podemos fazer

∑ n = 1 ∞ s e n 1 n ∴ a n = s e n 1 n

∑ n = 1 ∞ 1 n ∴ b n = 1 n

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n

Usando a substituição u = 1 / n :

n → ∞ ∴ u → 0

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n = lim u → 0 ⁡ s e n u u = 1

Acabou virando esse limite fundamental que dá 1 . E como 1 > 0 . A gente pode dizer que essas duas séries tem o mesmo comportamento. Se a harmônica diverge, a nossa também.

Resposta

Divergente

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