UFJF. Equações Diferenciais I. Prova AV1. 2022.2. Questão 4a.
4 – Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
a) se converge, então converge absolutamente.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, temos que analisar a afirmação dada e dizer se é verdadeira ou falsa.
No item a) a afirmação que temos que analisar é que se uma série converge então converge absolutamente.
O que você acha? converge também?? 🤔
Para começar a provar nosso problema, temos que ter em mente uma propriedade do teste da divergência.
No caso, uma série dada por diverge se mas se não podemos afirmar nada. Porém se converge, obrigatoriamente deve ser igual a . Entende?
Agora podemos começar nosso problema!
Bora lá 😁
Passo 2
Para provar nossa teoria, podemos usar o teste de limite-comparação que nos diz que se for igual a ou igual a , e tem o mesmo comportamento, ou seja, ambas divergem ou ambas convergem.
Dessa forma se usarmos como e como , vamos obter
Simplificando a fração, temos
Como vimos no passo 1, se converge, então , ou seja, tende a quando tende ao infinito.
Aplicando essa informação no limite de , temos
Como temos uma constante sendo dividida por um número muito pequeno, então o resultado dessa fração tende a um valor muito grande, ou seja, ao infinito.
Portanto, e tem o mesmo comportamento, ou seja, ambas convergem.
Logo converge absolutamente, ou seja, a afirmação do item a) é verdadeira!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
Resposta
Verdadeira.