UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 10 – Questão 6
Em relação à série , tem-se que:
- A série:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma série e pediu duas coisas
- Na letra (a) pediu o limite do termo geral (termo geral é a expressão que está dentro do somatório, no nosso caso ) quando : aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só calcular o limite mesmo, usando todas as regrinhas que você já viu
- E na letra (b) perguntou se a série diverge ou converge. Aqui precisamos achar qual teste vai confirmar o comportamento dessa série, e aqui que entra o truque sujo! Mas calma, vou te ajudar a identificar qual teste usar!
Vamos fazer passo a passo juntos?
Vamos lá!
Passo 2
Letra (a)
Lembrando que é um número inteiro e positivo e que a função seno ao quadrado só pode assumir valores entre e , então a ideia aqui é analisar esse limite pela técnica do sanduíche!
Nosso numerador pode assumir valores entre e , então:
Sabendo que ela é limitada, a gente pode calcular o limite das pontas, e assim ‘sanduichar’ nosso limite, saca só!
Dividindo todas as partes por
E aplicar o limite em todas as partes dessa desigualdade
Os limites das pontas a gente sabe calcular:
Assim nossa desigualdade fica:
Fizemos um sanduiche com nosso limite! Isso significa que o limite que queremos calcular é zero:
Beleza?
E já vou fazer uma observação que vai servir para ver a convergência ou divergência de uma série: se o limite no infinito do termo geral dessa sequência for:
Sendo assim, como o limite da nossa série foi zero, ela pode convergir ou divergir. Isso significa que precisamos aplicar algum teste.
Passo 3
Agora vamos para letra (b).
Nossa série é
Como ela envolve uma função limitada, e que no infinito ela se comporta como , é interessante usar o teste da comparação
Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.
E daí podemos ter duas opções:
- Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
-
Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir
Passo 4
Uma série conhecida é a série geométrica:
Essa série converge se , então podemos usar a série
Ou melhor ainda
Como , então essas duas séries convergem
Então se ela estiver por cima da nossa série, isso indica que nossa série vai convergir também.
Temos que
Já que o maior valor que o seno quadrado assume é , então essa desigualdade é verdadeira
Beleza?
Como a série geométrica converge, e ela está “por cima”, então nossa série que está “por baixo” irá convergir também.
Então a série é: convergente
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!