UTFPR – Cálculo 3 – AV3 – Questão 1a
Diga se as sequências são convergentes ou divergentes. Se convergir, encontre o limite
Passo 1
Oi, tudo certo por aí? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!
Para dizer se uma sequência diverge ou não, precisamos calcular o limite! Mas como assim??
Limite de uma sequência é o mesmo limite de uma função! Lembra que sequência só admite inteiros positivos, certo?
Então se o limite da função (que tem a mesma cara de uma sequência que estamos analisando) existe e é um número, isso significa que nossa sequência (que leva em consideração muitos menos pontos em comparação a uma função - que leva tooodos os reais) é convergente!
Beleza?
A cara da nossa sequência é
Então para verificar se essa sequência diverge ou não vamos seguir esses passos aqui:
- Escrever uma função igualzinha a nossa sequência, só trocando
- Analisar o limite dessa função quando
- Se o limite existir e for um número: então a sequência converge. Se o limite não existir ou for , então nossa sequência diverge.
é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa sequência é
E transformando para uma função temos
Tranquilo até aqui? Podemos arrumar ela ainda mais um pouco
Agora sim! Podemos calcular o limite!
Passo 3
Agora vamos calcular o limite de quando :
E agora?
O fator que depende de é negativo, certo? E é uma função exponencial, pois está no expoente! então precisamos olhar para a base: se for maior do que temos uma função exponencial decrescente, e a parte em irá a zero. Se a base for maior do que , aí teremos uma exponencial crescente e essa função explode no infinito.
Nossa base é , então temos uma função exponencial crescente, com coeficiente negativo. Isso significa que ela explode para !
Encontramos que o limite não existe, ele explode para ! Isso significa que nossa sequência é divergente
Ufa! Terminamos!
Bora treinar mais?