Teste da comparação no limite
Determine para quais valores de a série:
É convergente e para quais é divergente.
Passo 1
Esse termo é meio ruim de ficar usando, vamos tentar dar uma arrumada antes de fazer qualquer coisa, para isso vamos fazer a multiplicação por um conjugado.
Agora vamos ter
Passo 2
A primeira coisa que teríamos que olhar nessa conta seria se o limite do termo geral vai para , mas não vamos fazer isso. Por que? Repara que temos um polinômio no denominador e um no numerador nesse termo geral.
Por mais estranho que seja, no denominador temos um polinômio de grau , e no numerador temos um polinômio de grau .
Então vamos usar o teste da comparação no limite.
Vamos comparar com a série
Assim vamos ter
Usando o teste de comparação no limite,
Para resolver isso vamos colocar em evidência
Assim, sabemos que a condições de convergência dessas séries são as mesmas!
Passo 3
Agora que sabemos que ela tem a mesma convergência que
Vamos analisar essa série, repara que ela é uma -série, assim ela converge para:
E diverge para:
Isso nos diz que nossa série