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Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

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Enunciado

Determine se a série converge ou diverge

∑ k = 1 ∞ k 3 2 + 3 k 8 - 3 k 2 + 2 k 5 2

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer nesse tipo de questão é fazer o teste da divergência. O termo geral da nossa série é.

a k = k 3 2 + 3 k 8 - 3 k 2 + 2 k 5 2

Calculando lim k → ∞ ⁡ a k

lim k → ∞ ⁡ k 3 2 + 3 k 8 - 3 k 2 + 2 k 5 2 = lim k → ∞ ⁡ k 3 2 1 + 3 k - 1 2 k 5 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 = lim k → ∞ ⁡ 1 k 1 + 3 k - 1 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 = 0    

Não podemos dizer se a série diverge ou não, teremos que utilizar outro teste. Vamos tentar o teste da comparação.

Passo 2

Vamos reescrever a k

a k = k 3 2 1 + 3 k - 1 2 k 5 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 = 1 k 1 + 3 k - 1 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2

Tirando a parte feia desse termo geral, ele tá lembrando o termo geral da série harmônica. Pelo teste da comparação no limite temos que a nossa série irá divergir se

lim k → ∞ ⁡ 1 k 1 + 3 k - 1 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 1 k = lim k → ∞ ⁡ 1 + 3 k - 1 2 8 k - 5 2 - 3 k - 1 2 + 2 = 1 2

Logo as duas séries divergem juntas.

Resposta

A série diverge

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