UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 1b.
1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.
b)
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema nosso objetivo é dizer se a série converge ou não.
Temos que escolher um teste para usarmos no problema e pra isso temos que analisar nossa série de modo a encontrar alguma coisa que nos indique qual teste seria conveniente de usarmos.
Tem algum em mente? 🤔🤔
Nossa série é composta por uma fração de polinômios, então um método muito poderoso para esses casos é o teste limite-comparação!
Esse teste consiste em usar uma outra série que sabemos a respeito da sua divergência, assim calculando o limite
Dado que é a nossa série.
Assim, se for diferente de e de , significa que e tem o mesmo comportamento, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.
Sacou? Vamos ver para o nosso caso? 😎
Passo 2
Primeiro vamos ver se nossa série diverge. Pra isso vamos usar a série mais simples que sabemos, a série harmônica .
A série harmônica sempre diverge, portanto é um uma ótima candidata.
Se , então substituindo e no limite...
Simplificando a fração calculando o produto dos extremos sobre o produto dos meios, temos
Se substituirmos por , vamos chegar em uma indeterminação .
A regra de L’Hopital é válida para esses casos também, então vamos aplicá-la!
Caso não se lembre, relaxa, vou dar uma relembrada... essa regra consiste em calcular as derivadas do numerador e do denominador de uma fração dentro de um limite, ou seja
Derivando e pelo método de derivação polinomial multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo do seu expoente, temos
Substituindo esses resultados no limite...
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Ainda não podemos substituir por pois ainda chegaríamos em uma indeterminação
Então vamos aplicar a regra de L’Hopital novamente!
Pelo método de derivação polinomial, temos
Substituindo no limite novamente.
Podemos perceber que se substituirmos agora, ainda estaríamos presos em uma indeterminação...
Então aplicando a regra de L’Hopital mais uma vez, temos
Pelo mesmo método de derivação...
Resultando em
Como o limite de uma constante resulta na própria constante, então
Ou seja, .
Como vimos no passo , se fosse diferente de e de , as séries e teriam o mesmo comportamento.
Logo, se diverge, também diverge!
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
Diverge pelo teste limite-comparação.