Quais das sequências {a_n} convergem e quais divergem? Ache o limite de cada sequência convergente :

i) a_n = n * raiz(5n)

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se a sequência a n = n 5 n converge. Uma sequência é dita convergente se o limite abaixo existe:

l i m n → ∞ a n = L

então vamos calcular esse limite, para verificar se a sequência é convergente, e obter o seu valor caso ele exista. Então vamos lá!

Passo 2

Olhando para o limite e reescrevendo a função

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ n 5 n = l i m n → ∞ ( 5 n ) 1 n

temos que calcular esse limite.

Passo 3

Para calcular o limite

l i m n → ∞ ( 5 n ) 1 n

fazemos,

( 5 n ) 1 n = e l n   ( 5 n ) 1 n = e 1 n l n   5 n

tomando o limite,

l i m n → ∞   ( 5 n ) 1 n = e l i m n → ∞ l n   5 n l i m n → ∞ n = e ∞ ∞

por conta dessa divergência vamos aplicar a regra de L’Hospital:

e l i m n → ∞ l n   5 n n = e l i m n → ∞ d d n l n   5 n d d n n = e l i m n → ∞ 1 n 1 = e l i m n → ∞ 1 n

tomando o limite,

e l i m n → ∞ 1 n = e 1 ∞ = e 0 = 1

voltando

l i m n → ∞   ( 5 n ) 1 n = e l i m n → ∞ 1 n = 1

Então,

l i m n → ∞ a n = 1 .

Assim, temos que a sequência a n = n 5 n é convergente e seu limite é L = 1 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A sequência a n = n 5 n é convergente e seu limite é L = 1 .

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