UFRJ – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – M. Escolha
Das seguintes séries marque quantas divergem.
Escolha uma opção:
Passo 1
Vamos junto resolver esse problema!
Temos então que verificar quais dessas séries divergem, então vamos atrás disso, vamos avaliar cada uma separadamente e ver o melhor método para cada uma,
Vem comigo!
Passo 2
Vamos começar com:
Para sabermos se essa série converge ou não, podemos usar o teste da comparação ao nosso favor.
Uma das coisas que o teste diz é que se pegarmos uma série maior que a que a gente tem e ela convergir, logo limitando a nossa série por cima, e se acharmos outra série menor que a nossa e que converge ou mostrando que a nossa série é sempre positiva, a nossa série converge também.
Essa série é sempre maior que já que é sempre positivo, então ela é limitada inferiormente, então não tem como a nossa série divergi para o negativo.
Passo 3
Agora temos que pegar uma série maior que a nossa e que é convergente.
Nós podemos usar a seguinte:
Já que:
Essa série é maior que a nossa, pois o denominador dela cresce muito mais lentamente do que a que o enunciado deu, então ela acaba sendo maior.
E essa série converge, já que:
é convergente se e divergente se .
Então a série que estamos usando converge já que .
Então ela limita superiormente a série que o enunciado nos deu.
Logo a primeira série do enunciado converge.
Passo 4
Agora vamos avaliar a série:
Para sabermos se essa série converge ou não podemos usar o teste de divergência que diz que:
Se não existir ou se então a série é divergente.
Vamos calcular esse limite então, temos:
Agora quando fazemos os termos e vão a zero, mas ainda tem um termo no numerador que faz com que esse limite vá ao infinito.
Então a nossa série diverge, já temos uma na conta.
Passo 5
Agora vamos para última
Para essa vamos usar de novo o teste da comparação. Temos que pegar uma série maior que a nossa e que é convergente.
Nós podemos usar a seguinte:
Já que:
Essa série é maior que a nossa, pois o denominador dela cresce muito mais lentamente do que a que o enunciado deu, então ela acaba sendo maior.
E essa série converge, já que:
é convergente se e divergente se .
Então a série que estamos usando converge já que .
Então ela limita superiormente a série que o enunciado nos deu.
Logo a primeira série do enunciado converge.
Então só uma das séries que avaliamos é divergente, logo a alternativa correta é a letra .