Quais das sequências {a_n} convergem e quais divergem? Ache o limite de cada sequência convergente :

h) a_n = (1 + 5/n)^n

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se a sequência a n = ( 1 + 5 n ) n converge. Uma sequência é dita convergente se o limite abaixo existe:

l i m n → ∞ a n = L

então vamos calcular esse limite, para verificar se a sequência é convergente, e obter o seu valor caso ele exista. Então vamos lá!

Passo 2

Calculando o limite

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( 1 + 5 n ) n

lembrando que podemos aplicar o limite em cada termo:

l i m n → ∞ ( 1 + 5 n ) n = ( l i m n → ∞ 1 + l i m n → ∞ 5 l i m n → ∞ n ) l i m n → ∞ n .

Passo 3

Agora, tomando o limite de n - > ∞

( l i m n → ∞ 1 + l i m n → ∞ 5 l i m n → ∞ n ) l i m n → ∞ n = ( 1 + 1 ∞ ) ∞ = ( 1 + 0 ) ∞ = ( 1 ) ∞ = 1 .

l i m n → ∞ a n = 1 .

Assim, temos que a sequência a n = ( 1 + 5 n ) n é convergente e seu limite é L = 1 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A sequência a n = ( 1 + 5 n ) n é convergente e seu limite é L = 1 .

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