Determine se cada série a seguir converge absolutamente, condicionalmente ou diverge:
Passo 1
Primeiro, vamos pensar no módulo dessa série. Ficamos com:
Observe que
Noooossa, melhorou bastante essa expressão né? Vamos tentar usar o critério da comparação do limite. Para isso, observe que
Como o limite deu algo constante, o que acontece com uma série, acontece com a outra. Já que é divergente, a nossa série em módulo também diverge.
Passo 2
Já vimos que nossa série em módulo diverge, mas e a série? Tendo em vista que a série é alternada, vamos usar o critério das séries alternadas, que diz o seguinte:
Dada uma série , ela é convergente se satisfizer as seguintes condições:
Beleza. Sabendo isso, vamos ver se a série é condicionalmente convergente ou não.
Esse limite é zero porque o termo tende a zero quando , fazendo com que reste apenas o .
Para sabermos se é decrescente ou não, calcularemos a derivada :D
Perceba que se . Por isso, tal condição.
Bom, agora já satisfizemos tudo o que era necessário, e sabemos então que nossa série é condicionalmente convergente, já que seu módulo diverge e ela não.
Resposta
A série é condicionalmente convergente.