- Determine se a sentença abaixo é verdadeira ou falsa:
Se é uma série convergente de termos positivos, então converge.
Passo 1
Cara, a primeira coisa que a gente tem que fazer em exercício de teste que a gente não sabe se converge ou diverge como esse, é verificar se o termo geral da série que a gente quer testar (no caso é ) vai a ou não.
Por quê?
Bem simples, se ela não for à zero, então com certeza a série diverge, se lembra?
Então bora lá! :D
Passo 2
Verificar essa condição é um limite no infinito, neh
Bem, esse limite aí depende inteiramente desse , ou seja
Como do enunciado a gente tem que a série converge, então é porque esse limite aqui , vale
pois é a única forma dela convergir, certo?
Bem, então se está indo para , o que está acontecendo com o ?
Indo pra , percebeu?
Mas cuidado! Esse limite indo pra zero, não significa que a série converge, ok? Só nos fala que a gente não pode falar logo de cara que a série diverge!
Éhhh infelizmente a vida não é fácil, neh hehe! Mas me acompanha que a gente vai vencer!
Passo 3
Pow! como a gente não tem muitas informações a respeito de , a legal a gente dar uma olhadinha no método da comparação no limite, ele pode nos ajudar.
Não se recorda bem?
É esse daqui ohh
Esse aí é sequencia da série que estamos querendo testar e o é sequência da série que vamos usar de comparação (aquela série dita no enunciado)
Portando , no nosso caso, pegou?
Substituindo então tudo aí nesse limite...
Passo 4
CARACA! Esse limite aí ele muuuuito parecido com um limite muito famoso, o limite fundamental da trigonometria, se lembra? Esse daqui ohhh:
A diferença é que lá em cima a gente tem indo para o infinito, mas espera! Quem está indo par o infinito é o , mas o que realmente interessa é o .
Como a gente já viu, está indo pra ! Então falar que esse limite acontece quando vai para o infinito ou quando vai pra zero é a mesma coisa, pegou?
Cara, então se esse limite aqui
vai pra um, a gente pode falar com certeza que o limite dessa sequência aqui
também vai para...
Bem, se o limite desse teste de comparação não foi zero, a série de só pode convergir!