Questão 3) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual é o modo de convergência. Especifique os testes utilizados.
c)
Passo 1
Bem, a primeira coisa que temos que fazer em séries de frações assim é averiguar se o termo geral está indo a , pois se não nem precisa de fazer conta, afinal ela divergirá direto:
O seno é uma função delimitada entre e e a fração vai à . Logo, podemos afirmar que esse limite vai também a
Passo 2
Ótimo então a série pode ou não convergir. Temos que encontrar o melhor método de averiguar isso.
Bem, eu estou muito desconfiado que essa série converge, pois eu sei que o seno quando o argumento está próximo de , podemos provar que...
Então...
E essa série converge, pois é uma série com o ...
Então a série de baixo converge também...
Mas essa comparação embora esteja certa, é meio chata de provar que é verdadeira e alguns professores podem não gostar sem uma prova completa. Então vou te mostrar uma solução alternativa.
Passo 3
Já que eu sei que converge, mas não estou muito seguro da comparação, então façamos a comparação no limite. E vamos compara com a série
Essa comparação fala que se o limite
For maior que e um número real (não vai ao infinito), então ambas convergem ou divergem.
pode ser o termo da série que queremos...
Enquanto que o é o termo da série que queremos comparar...
Então o limite vai ficar sendo...
Veja que quando então . Então podemos fazer uma mudança...
Quem é esse limite? É o limite fundamental trigonométrico e vale...
Então...
Como o limite foi um número diferente de , e a série de converge, então converge com certeza, sacou?
Passo 4
Ahhh! E se você perceber, a série
Já é formada por termos positivos, afinal o seno é positiva para termos positivos próximos de e o denominador também é positivo!
Então não faz diferença se colocarmos ou não o módulo...
Como a série sem módulo converge, a com módulo também, então dizemos ela converge absolutamente.
Resposta
Converge absolutamente pelo método da comparação ou pela comparação no limite.