Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 11 – Seção 5 – Exercício 32
(Capítulo 11.5 – Exercício 32) Para quais valores de a serie e convergente?
Passo 1
Faaaala galerinha!
Ó, nesse exercício temos a série
E aí queremos entender para quais valores de essa série converge
Bom, como temos o termo , essa é uma série alternada, e nada mais justo do que usar o Teste da Série Alternada, que diz que se uma série tiver o formato
Para que ela seja convergente, deve cumprir com esses dois requisitos:
1. ;
2.
Se ela não cumprir com um deles, ela diverge, fechou?
Então vamos encontrar quais são os valores de que cumprem com esses requisitos
Passo 2
Temos a série
Comparando com , podemos falar que
Vamos checar cada um dos pontos do Teste. Começando pelo fato que , isto é, checar se a nossa função é decrescente. Para a nossa questão,
Como queremos que , temos
Como um denominador maior gera um resultado menor, queremos que o denominador seja maior do que . Isso vai acontecer para todo , então já temos uma pista sobre os valores de , agora vamos para o segundo requisito blz?
Passo 3
No segundo requisito, queremos que o limite de quando seja 0:
Isso vai acontecer sempre que o se mantiver no denominador, porque vamos ter
Porém, se o expoente for negativo, o pode ir pro numerador, tipo:
E isso não daria 0, e sim
Portanto, mais uma vez temos que ter
Logo, a série diverge quando
Passo 4
Resposta
A série converge sempre que