Determine quais dentre as séries abaixo convergem e quais divergem:
Passo 1
Falaaa! Tá bem? Segura na minha mão e vamos começar!
Essa série dá resultados inconclusivos para maioria dos critérios para convergência. Então vamos usar aqui o método da comparação, porque temos certa liberdade nele.
Aí a gente vai pensar em séries parecidas com a nossa para tentar chegar em algum lugar, tá? Vamos conseguir!
Olhando só para o termo geral dela
Concorda que podemos escrever:
Isso porque o denominador do termo da direita fica maior que o do termo da esquerda. Mas podemos brincar mais um pouco com eles
Passo 2
Agora a gente vai pensar em uma relação, que é pouco usada, mas vai nos ajudar muito. Para valores , como no caso da nossa série, a gente pode dizer que
E para que isso serve? Se essa linha de cima é verdade, é verdade também que
Já que do lado esquerdo a gente tem um denominador maior.
Daí a gente tira que
Aí voltando para o que a gente tinha
Passo 3
E para que esse rolê todo? Vamos ver se essa série com termo geral converge ou diverge
Ela é bem parecida com a série harmônica, né?
Essa série diverge.
Vamos usar o teste da comparação no limite entre elas, para ver se a nossa série desconhecida também diverge como a série harmônica. Para isso, vamos calcular o limite da divisão entre seus termos gerais.
Como , pelo teste da comparação no limite, a série
Diverge.
Passo 4
E isso é útil para gente, porque sabemos que
Então a gente pode escrever que
Mas a gente viu que a série da esquerda diverge. Se a nossa série é maior que ela, com certeza ela vai divergir também! Isso é o que o teste da comparação diz. Então a nossa série diverge.
Resposta
Divergente