Determine quais dentre as séries abaixo convergem e quais divergem:

∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 ln ⁡ n

Passo 1

Falaaa! Tá bem? Segura na minha mão e vamos começar!

Essa série dá resultados inconclusivos para maioria dos critérios para convergência. Então vamos usar aqui o método da comparação, porque temos certa liberdade nele.

Aí a gente vai pensar em séries parecidas com a nossa para tentar chegar em algum lugar, tá? Vamos conseguir!

Olhando só para o termo geral dela

1 1 + 2 ln ⁡ n

Concorda que podemos escrever:

1 2 + 2 ln ⁡ n ≤ 1 1 + 2 ln ⁡ n

Isso porque o denominador do termo da direita fica maior que o do termo da esquerda. Mas podemos brincar mais um pouco com eles

1 2 ( 1 + ln ⁡ n ) ≤ 1 1 + 2 ln ⁡ n ∴ 1 2 1 1 + ln ⁡ n ≤ 1 1 + 2 ln ⁡ n

Passo 2

Agora a gente vai pensar em uma relação, que é pouco usada, mas vai nos ajudar muito. Para valores n ≥ 1 , como no caso da nossa série, a gente pode dizer que

ln ⁡ n < n

E para que isso serve? Se essa linha de cima é verdade, é verdade também que

1 1 + n < 1 1 + ln ⁡ n

Já que do lado esquerdo a gente tem um denominador maior.

Daí a gente tira que

1 2 ⋅ 1 1 + n < 1 2 ⋅ 1 1 + ln ⁡ n

Aí voltando para o que a gente tinha

1 2 ⋅ 1 1 + ln ⁡ n ≤ 1 1 + 2 ln ⁡ n

1 2 ⋅ 1 1 + n < 1 2 ⋅ 1 1 + ln ⁡ n ≤ 1 1 + 2 ln ⁡ n

1 2 ⋅ 1 1 + n < 1 1 + 2 ln ⁡ n

Passo 3

E para que esse rolê todo? Vamos ver se essa série com termo geral 1 / ( 1 + n ) converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 1 + n

Ela é bem parecida com a série harmônica, né?

∑ n = 1 ∞ 1 n

Essa série diverge.

Vamos usar o teste da comparação no limite entre elas, para ver se a nossa série desconhecida também diverge como a série harmônica. Para isso, vamos calcular o limite n → ∞ da divisão entre seus termos gerais.

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 1 + n = lim n → ∞ ⁡ 1 + n n → L ' H → lim n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Como 1 > 0 , pelo teste da comparação no limite, a série

∑ n = 1 ∞ 1 1 + n

Diverge.

Passo 4

E isso é útil para gente, porque sabemos que

1 2 ⋅ 1 1 + n < 1 1 + 2 ln ⁡ n

Então a gente pode escrever que

1 2 ∑ n = 1 ∞ 1 1 + n < ∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 ln ⁡ n

Mas a gente viu que a série da esquerda diverge. Se a nossa série é maior que ela, com certeza ela vai divergir também! Isso é o que o teste da comparação diz. Então a nossa série diverge.

Resposta

Divergente

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Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n