UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 10 – Questão 3
Em relação à série , tem-se que:
- A série:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma série e pediu duas coisas
- Na letra (a) pediu o limite do termo geral (termo geral é a expressão que está dentro do somatório) quando : aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só calcular o limite mesmo, usando todas as regrinhas que você já viu
- E na letra (b) perguntou se a série diverge ou converge. Aqui precisamos achar qual teste vai confirmar o comportamento dessa série, e aqui que entra o truque sujo! Mas calma, vou te ajudar a identificar qual teste usar!
Vamos fazer passo a passo juntos?
Vamos lá!
Passo 2
Letra (a)
A função fatorial não é definida para o conjunto dos reais, só funciona para os naturais, o que é perfeito para nós! Isso porque é um número inteiro e positivo.
o fatorial de um número qualquer é:
Por exemplo, se :
Se :
Fica bem evidente que quanto maior é , maior é o fatorial desse número, certo?
Então podemos assumir que quando , É um número muuuuito grande, e isso na matemática representa
Assim
Beleza?
E já vou fazer uma observação que vai servir para ver a convergência ou divergência de uma série: se o limite no infinito do termo geral (no nosso caso ) dessa sequência for:
Sendo assim, como o limite da nossa série foi zero, ela pode convergir ou divergir. Isso significa que precisamos aplicar algum teste.
Passo 3
Agora vamos para letra (b).
Nossa série é
Como ela envolve o fatorial o teste indicado é o: teste da razão! Como vimos no passo anterior, o fatorial é um monte de multiplicações, então é bem possível que dê para cortar muita coisa!
Então se liga nessa dica: termo geral envolve fatorial, então tasca um teste da razão!
Vamos ao teste da razão:
Agora temos três possibilidades para esse :
Então a ideia agora é aplicar esse teste:
- Calcular ;
- Depois calcular o limite da expressão resultante no infinito;
- Verificar onde o resultado do limite se encaixa (caso seja =1, vamos precisar de outro teste, mas alguma coisa me diz que vamos encontrar um bom resultado...)
Passo 4
O termo geral
E agora o seu sucessor
E agora a razão :
Agora vamos abrir o maior fatorial até chegar no menor, ou seja, reescrever Como
Lembra que o fatorial é uma sucessão de multiplicações e o objetivo aqui é cancelar o maior número de termos
Agora vamos calcular o limite no infinito dessa expressão
Então temos que , ou seja, a série
É convergente
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!