UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 11 – Questão 2
Considere a série , selecione as respostas corretas
Escolhe uma ou mais
- Tomando , temos logo nada podemos concluir
- A igualdade é verdadeira
- Usando os dois itens anteriores, podemos mostrar que é convergente
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa série aqui
E pediu para resolvermos uma série de itens associados com o limite da razão de duas séries(e assim verificarmos se as afirmativas estão corretas ou não). E ao final perguntou se a nossa série converge ou diverge.
Mas como assim comparar duas coisas e concluir que elas convergem ou divergem?
Estamos falando do teste da comparação dos limites!
Ele fala exatamente sobre isso: sabendo o comportamento de uma série, podemos afirmar o comportamento de outra se compararmos os limites delas!
Em resumo o Teste da Comparação dos Limites é
Então a ideia é encontrar uma série que seja parecida com a série dada e fazer o limite quando
Se o resultado for um número, então ambas as séries têm o mesmo comportamento!
Mas relaxa, vou fazer item por item, passo a passo com você!
Passo 2
Letra (a): A série dada foi essa aqui
A ideia é pegar algum elemento da série que temos e associar com alguma série que conhecemos o comportamento!
Nesse item o problema dá a segunda série
E sabemos que ela é convergente! Então se o resultado do limite da razão for um número, sabemos o comportamento da nossa série!
E aí o problema pede para calcularmos o limite quando de , então vamos lá
E avaliando o limite
Beleza?
Assim como o limite é indefinido (infinito) e não um número, com essas duas séries não podemos concluir nada sobre o comportamento da série dada! E essa primeira afirmação está correta!
Passo 3
Letra (b): Nosso próximo passo é verificar a igualdade
Note que agora nossa série não começa mais em , mas sim em ! Isso provoca um deslocamento no índice inicial, mas em nada interfere no comportamento da série!
Para fazer a comparação vamos fazer a seguinte mudança de variáveis
E vamos trocar na nossa série (que agora começa em )
Olha só o que encontramos! Verificamos que a igualdade dada é verdadeira!
Agora #partiu resolver o último item?
Passo 4
Letra (c): agora o problema nos pede para usar os resultados dos dois últimos itens, concluir se a série dada inicialmente é divergente ou convergente
Então é isso que vamos fazer! Vamos usar a série deslocada da letra (b) no teste da comparação dos limites!
agora o termo geral que queremos saber o comportamento é
E comparando com a mesma série dada no item (b):
A troca de índices é só para você associar a série deslocada com a que queremos saber o comportamento, mas no fim é a mesma tá bem? É só um truque sujo bem pequeno para que o limite dê certo!
Agora vamos avaliar o limite
No infinito apenas os termos de maior expoente vão sobreviver
Encontramos um número finito! Isso significa que as duas séries têm o mesmo comportamento! Assim a série
Converge! E a última letra também está correta!
Recapitulando: os itens corretos são
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!