Teste da comparação no limite
Determine se a série converge ou se diverge.
Passo 1
Vamos começar vendo se a série converge absolutamente.
Bem temos uma série muito louca ali né? Vamos primeiro ver se o limite do termo geral vai para ou não, se não for já sabemos que ela não converge.
O termo geral vai ser
Vamos ter
Então por enquanto não podemos dizer que diverge nem que converge.
Passo 2
Repara que temos um seno certo? Então temos
Como aquele cara dentro do seno vai para podemos usar o teste da comparação no limite para comparar o seno com aquela série,
Vamos fazer
Então
Isso nos diz que essas duas series tem o mesmo comportamento.
Passo 3
Vamos ver agora a série
Dando uma arrumada no termo geral dessa série temos
Que é uma série com , isso nos diz que ela converge, então a nossa série do enunciado converge também.
Resposta
Converge