USP, Sem Campus, Cálculo 3, lista 3 - 2022.1, Questão 5a
Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de . Quando é uma superfície fechada, admita que está orientada pela normal exterior.
e é a parte do parabolóide com , orientada de modo que a normal no ponto é ;
Passo 1
Faaaala pessoal, tudo bom com vocês?
Nessa questão precisamos calcular uma integral de superfície no caso vetorial.
Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?
Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!
Imagina que temos que calcular:
Parametrizar a superfície
Escrever a função como função da parametrização
Calcular o vetor normal à superfície, usando que:
Montar a integral:
Resolver como uma integral dupla normal!
Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso vetorial.
Passo 2
Bom, no caso desse item temos a função vetorial:
E é a parte do paraboloide com . Além disso, no ponto a normal à S é (essa informação nos ajuda a saber a orientação da superfície).
Massa! De posse dessas informações vamos para a nossa receita de bolo 😊
Parametrizar a superfície :
Bom, temos que é parte do parabolóide:
Podemos usar a própria parametrização explícita. Assim:
Não conseguimos definir os intervalos de variação de e usando essa parametrização, mas não tem problema, podemos seguir sem definir isso por enquanto e mais pra frente fazemos uma mudança de variáveis 😊.
Escrever a função como função da parametrização
Vimos que:
Como ela já está em função de e , que são os nossos parâmetros, nada irá mudar.
Calcular o vetor normal à superfície, usando que:
Bom, temos que:
Analogamente:
Assim:
O legal é que, quando estamos no ponto de fato o vetor normal vale . Ou seja, estamos na orientação correta para a superfície .
Montar a integral:
Usando a nossa parametrização e a normal encontrada, teremos:
Excelente! Conseguimos chegar na integral dupla. Agora vamos resolvê-la 😊
Passo 3
Precisamos resolver a integral:
Ainda não determinamos os limites de integração dessa integral. Para isso, vamos fazer uma mudança de variáveis:
O Jacobiano dessa mudança de variável vale:
Como tínhamos que era parte do paraboloide:
com , temos:
Substituindo pela mudança de variáveis:
Além disso:
Por fim, a função que estava sendo integrada fica:
Perfeito! Aplicando a mudança de variáveis na integral, teremos:
Separando essa integral, ficamos com:
Perfeito! Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
Começando por:
Ficamos com:
Resolvendo a integral mais interna:
Fazendo:
Logo, ajeitando também os limites de integração, a integral fica:
Logo, a primeira integral é nula.
Vamos pra segunda:
Começando pela integral mais externa:
Fazendo:
Log:
Como essa integral é nula, todo esse termo zera.
Massa!
Vamos então para a última integral:
Como:
Temos:
Muito bom! Logo:
Excelente!
Voltando à expressão principal para a integral de superfície:
Portanto, a integral de superfície dada, ou seja, o fluxo de sobre vale:
Prontinho galera! Obrigado pela atenção 😊