Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 16 – Seção 7 – Exercício 23
(Capítulo 16.7 – Exercício 23) Avalie a integral de superfície para o campo vetorial dado e a superfície orientada . Em outras palavras, localize o fluxo de através de. Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.
S é a parte do paraboloide que está acima do quadrado e com orientação ascendente
Passo 1
Faaaala galera, vamos lá entender direitinho o que temos que fazer nesse exercício
Temos que “S é a parte do paraboloide que está acima do quadrado e com orientação ascendente”
E aí queremos encontrar o fluxo de através de
O fluxo de um campo é definido como
Onde
Então vamos lá!!
Vamos começar olhando a região de integração. No plano é um quadrado de lado , então:
Passo 2
A função é , então o vetor normal é:
E o produto escalar entre esse vetor e o campo é:
Mas sabemos que , então o produto escalar é:
E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?
Passo 3
Vamos ter essa integral:
Considerando como constante, vamos integrar primeiro em :
Agora vamos aplicar os limites:
E juntar os semelhantes:
E por fim, aplicar novamente os limites:
E é isso galerinha!