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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

UTFPR, Londrina, Cálculo 3, Provas de C3 - Prof Marcele Tavares - AV1 - 2023.1, Questão 1.iii

Explicite duas estratégias para calcular ∬ s F d s , onde F x , y , z = ( y z 2 , x z 2 , x 2 + y 2 ) e S é a superfície definida por z = x 2 + y 2 tal que 0 ≤ z ≤ 1 .

Passo 1

Antes de pensarmos em qualquer estratégia, vamos visualizar a superfície S com o nosso querido GeoGebra.

Passo 2

Estratégia 1: Uso de coordenadas cartesianas

Uma maneira de calcular a integral é usar coordenadas cartesianas. Isso envolve parametrizando a superfície S e então usando a definição da integral de superfície para calcular a integral. A parametrização da superfície S é dada por

x = u cos ⁡ v

y = u sin ⁡ v

z = u 2

onde 0 ≤ u ≤ 1   e   0 ≤ v ≤ 2 π .

Passo 3

Estratégia 2: Uso de coordenadas polares

Outra maneira de calcular a integral é usar coordenadas polares. Isso envolve parametrizando a superfície S e então usando a definição da integral de superfície para calcular a integral. A parametrização da superficie S é dada por

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = r 2

Onde 0 ≤ r ≤ 1   e   0 ≤ θ ≤ 2 π .

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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