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Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial

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Enunciado

Integrais de superfície – caso vetorial

Considere a superfície S do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 , situada no primeiro octante ( x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ,   z ≥ 0 ) .

a) Ache uma parametrização para S .

c) Calcule o fluxo do campo F x , y , z = - y , x , - z através de S (supondo S orientada para fora).

Passo 1

Letra a)

Bom primeiro vamos parametrizar o paraboloide e depois analisar os intervalos dos parâmetros, ok?

Podemos usar coordenadas ciíndricas, já que temos simetria em relação ao eixo z :

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n   θ

z = 9 - r cos ⁡ θ 2 + r   s e n   θ 2 = 9 - r 2

Logo, temos a parametrização

φ r ,   θ = r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , 9 - r 2

Show, agora vamos ver os intervalos de r e θ .Como se trata do primeiro octante, sabemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 .

Para descobrir o valor máximo de r , temos que fazer a intersecção do paraboloide com o plano z = 0 , que é a circunferência de raio 3 :

x 2 + y 2 = 9

Logo, 0 ≤ r ≤ 3 .

Passo 2

Letra c)

Para calcular o fluxo que o problema pede, vamos usar a seguinte fórmula

∬ S   F . d S = ∬ D   F φ . ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ d r d θ

Onde

φ r ,   θ = r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , 9 - r 2

F x , y , z = - y , x , - z

Escrevendo o campo em função da parametrização

F φ = - r   s e n   θ , r cos ⁡ θ , r 2 - 9

Precisamos calcular a normal à S :

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , s e n   θ , - 2 r

∂ φ ∂ θ = - r sen ⁡ θ , r cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ = i j k cos ⁡ θ s e n   θ - 2 r - r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 0

= 2 r 2 cos ⁡ θ , 2 r 2 s e n   θ , r cos 2 ⁡ θ + r   s e n 2 θ =

= 2 r 2 cos ⁡ θ , 2 r 2 s e n   θ , r

Como ele pede que a orientação de S seja para fora e o vetor tem x positivo quando y é positivo, sabemos que é o vetor certo. Substituindo tudo na integral:

∬ S   F . d S = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 - r   s e n   θ , r cos ⁡ θ , r 2 - 9 . 2 r 2 cos ⁡ θ , 2 r 2 s e n   θ , r d r d θ

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 - 2 r 3 s e n   θ cos ⁡ θ + 2 r 3 s e n   θ cos ⁡ θ + r 3 - 9 r   d r d θ =

= ∫ 0 π / 2 ∫ 0 3 r 3 - 9 r   d r d θ =

= ∫ 0 π / 2 r 4 4 - 9 r 2 2 0 3 d θ =

= ∫ 0 π / 2 81 4 - 81 2 d θ =

= - 81 4 π 2 = - 81 π 8

Resposta

  1. φ r ,   θ = r cos ⁡ θ , r   s e n   θ , 9 - r 2 ,   0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 3

c) - 81 π 8

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