UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Estudo Cálculo 3 - UFSCAR - Lista de Integrais de Superfície, Questão 4
4. Considere um escoamento com velocidade e densidade , tal que seja dado por . Seja a superfície , e seja a normal com componente . Calcule o fluxo de através de .
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, queremos obter o fluxo de através de uma superfície definida por para .
Como podemos resolver esse problema? 👀
Para nos auxiliar nesse problema, podemos aplicar o teorema de Gauss que nos diz que o fluxo de um campo que passa em uma superfície fechada é obtida a partir da integral do seu divergente.
Dado um campo , seu divergente pode ser obtido como
Sacou? Bora começar! 😊
Passo 2
No nosso caso, o fluxo é dado por
Portanto, seu divergente é obtido como
Montando nosso problema a partir do teorema de Gauss, temos
Porém, temos um problema, esse teorema só é valido para superfícies fechadas.
No nosso caso, a superfície é dada pela parte superior da esfera em .
Portanto, temos que adicionar mais uma superfície como uma “tampa” em para fechar nossa superfície.
Adaptando nosso problema, vamos ter
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Essa superfície que adicionamos no problema, é dada sob o plano e obtendo a figura, substituindo em , temos
Ou seja, a superfície é uma circunferência de raio .
Obtendo o vetor normal e essa superfície, vemos que como é um plano paralelo ao plano , as coordenadas e de são , e portanto, como é um vetor unitário e aponta para fora do solido gerado pelas superfícies, temos que
Substituindo esses resultados na equação do problema...
Como é fixo em , então
Perceba que a integral resulta na área da superfície , assim, podemos substituir na integral através de coordenadas polares ou simplesmente fazemos .
Como vimos que a superfície é dada pela equação , vemos que , ou seja
Substituindo na integral do fluxo...
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
