Calcule a integral de superfície ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ   para cada um dos campos de vetores F → e superfícies orientadas S indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de F → através de S . Quando S é uma superfície fechada, admita que S está orientada pela normal exterior.

e )   F → x , y , z =   - y i → + x j → + 3 z k → e S é o hemisfério z = 16 - x 2 - y 2 , orientada de modo que a normal no ponto ( 0,0 , 4 ) é k → ;

Passo 1

Fala aí galerinha, tudo na paz por aí?

Nessa questão precisamos calcular uma integral de superfície no caso vetorial.

No caso desse item temos a função vetorial:

F → x , y , z =   - y i → + x j → + 3 z k →

Além disso, a superfície S é o hemisfério z = 16 - x 2 - y 2 . E, a orientação de S é tal que em ( 0,0 , 4 ) a normal vale k → .

Vocês lembram a receita do bolo pra calcular esse tipo de integral?

Hahaha! Então bora dar uma revisada nos passos!

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização

F → ϕ u , v

3 )   Calcular o vetor normal à superfície, usando que:

N → =   ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D F → ϕ u , v ⋅ ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Show de bola gente! Essa é a receitinha de bolo pra gente matar qualquer integral de superfície no caso vetorial.

Passo 2

Bom, vamos seguir as nossas etapas 😊

1 )   Parametrizar a superfície S :

Então, o enunciado nos fala que S é um hemisfério. Ou seja, é metade de uma circunferência.

Assim, da equação:

z = 16 - x 2 - y 2

Podemos tirar:

z 2 = 16 - x 2 - y 2

∴ x 2 + y 2 + z 2 = 16

Como a equação geral de uma circunferência é dada por:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Vem quem:

r = 4

Massa! Vamos então parametrizar S em coordenadas esféricas:

x = 4 c o s θ s e n α y = 4 s e n θ s e n α z = 4 c o s α

onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ α ≤ π 2 (pois é um hemisfério).

Logo:

ϕ θ , α = 4 c o s θ s e n α ,   4 s e n θ s e n α ,   4 c o s α

2 )   Escrever a função F → ( x , y , z ) como função da parametrização:

Temos:

F → x , y , z =   - y i → + x j → + 3 z k →

Trocando pelas variáveis da nossa parametrização, vamos ter:

F → ϕ θ , α =   - 4 s e n θ s e n α i → + 4 c o s θ s e n α j → + 3 ⋅ 4 c o s α k →

Beleza.

3 )   Calcular o vetor normal à superfície

Temos:

ϕ θ , α = 4 c o s θ s e n α ,   4 s e n θ s e n α ,   4 c o s α

Daí:

∂ ϕ ∂ θ = - 4 s e n θ s e n α ,   4 c o s θ s e n α ,   0

E:

∂ ϕ ∂ α = ( 4 c o s θ c o s α ,   4 s e n θ c o s α ,   - 4 s e n α )

Então:

N → = i → j → k → - 4 s e n θ s e n α 4 c o s θ s e n α 0 4 c o s θ c o s α 4 s e n θ c o s α - 4 s e n α

= - 16 c o s θ s e n 2 α i → + 16 s e n θ s e n 2 α j → + - 16 s e n 2 θ s e n α c o s α - 16 cos 2 ⁡ θ s e n α c o s α k →

N → = - 16 c o s θ s e n 2 α i → + 16 s e n θ s e n 2 α j → + - 16 s e n α c o s α k →  

Mas, sobre a orientação da normal, no enunciado é dito que no ponto ( 0,0 , 4 ) a normal vale k → . Nesse ponto, temos:

s e n α = 0 cos ⁡ α = 1

Logo, substituindo na nossa expressão para a normal, vemos que encontramos N →   orientada para - k → . Isso significa que a orientação que encontramos anteriormente, a verdadeira normal é:

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ ∫ D F → ϕ u , v ⋅ ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Reunindo as informações que encontramos até aqui, temos:

N → = 16 c o s θ s e n 2 α i → + - 16 s e n θ s e n 2 α j → + 16 s e n α c o s α k →

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π - 4 s e n θ s e n α i → + 4 c o s θ s e n α j → + 3 ⋅ 4 c o s α k → ⋅ 16 c o s θ s e n 2 α i → + - 16 s e n θ s e n 2 α j → + + 16 s e n α c o s α k → d θ d α

Fazendo o produto escalar do integrando, temos:

- 4 s e n θ s e n α i → + 4 c o s θ s e n α j → + 3 ⋅ 4 c o s α k → ⋅ 16 c o s θ s e n 2 α i → + - 16 s e n θ s e n 2 α j → + 16 s e n α c o s α k →

= - 64 s e n θ c o s θ s e n 3 α - 64 s e n θ c o s θ s e n 3 α + 192 s e n α cos 2 ⁡ α

= - 128 s e n θ c o s θ s e n 3 α + 192 s e n α cos 2 ⁡ α

Logo, a integral fica:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π - 128 s e n θ c o s θ s e n 3 α + 192 s e n α cos 2 ⁡ α d θ d α

Perfeito! Nossa missão é resolver essa integral bem feinha 😊

Passo 3

Precisamos resolver a integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π - 128 s e n θ c o s θ s e n 3 α + 192 s e n α cos 2 ⁡ α d θ d α

Vamos separar em duas integrais, pois a integral da soma é a soma das integrais.

Assim:

A = ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π - 128 s e n θ c o s θ s e n 3 α d θ d α

B =   ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 192 s e n α cos 2 ⁡ α d θ d α

Começando por A , temos:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π - 128 s e n θ c o s θ s e n 3 α d θ d α

=   - 128 ∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π s e n θ c o s θ s e n 3 α d θ d α

=   - 128 ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 3 α d α ∫ 0 2 π s e n θ c o s θ d θ

Como:

s e n θ c o s θ = s e n 2 θ 2

Temos:

- 128 ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 3 α d α ∫ 0 2 π s e n θ c o s θ d θ

= - 128 ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 3 α d α ⋅ - c o s 2 θ 4 0 2 π

=   - 128 ⋅ ∫ 0 π 2 s e n 3 α d α ⋅ - 1 4 - - 1 4

= 64 ⋅ 0 ⋅ ∫ 0 π / 2 s e n 3 α d α

= 0

Beleza, então:

A = 0

Vamos para B :

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π 192 s e n α cos 2 ⁡ α d θ d α

= 192 ⋅ ∫ 0 π / 2 s e n α cos 2 ⁡ α d α ⋅ ∫ 0 2 π d θ

= 192 ⋅ 2 π ⋅ ∫ 0 π / 2 s e n α cos 2 ⁡ α d α

Chamando:

c o s α = u

Temos:

- s e n α d α = d u

Logo:

192 ⋅ 2 π ⋅ ∫ 1 0 - u 2 d u

=   - 192 ⋅ 2 π ⋅ u 3 3 1 0

= - 192 ⋅ 2 π ⋅ 0 - 1 3

B = 128 π

Logo, como a nossa integral de superfície é dada por:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 π - 128 s e n θ c o s θ s e n 3 α + 192 s e n α cos 2 ⁡ α d θ d α

= A + B

Temos:

A + B = 0 + 128 π

= 128 π

Portanto, a integral de superfície dada vale 128 π .

Eaí, entenderam tudo bem direitinho?!

Obrigado pela atenção gente 😊

Resposta

128 π

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