Calcule a integral de superfície para cada um dos campos de vetores e superfícies orientadas indicadas abaixo. Em outras palavras, calcule o fluxo de através de . Quando é uma superfície fechada, admita que está orientada pela normal exterior.

e é o hemisfério orientada de modo que a normal no ponto é ;

Bom, vamos seguir as nossas etapas 😊

Parametrizar a superfície :

Então, o enunciado nos fala que é um hemisfério. Ou seja, é metade de uma circunferência.

Assim, da equação:

Podemos tirar:

Como a equação geral de uma circunferência é dada por:

Vem quem:

Massa! Vamos então parametrizar em coordenadas esféricas:

onde e (pois é um hemisfério).

Logo:

Escrever a função como função da parametrização:

Temos:

Trocando pelas variáveis da nossa parametrização, vamos ter:

Beleza.

Calcular o vetor normal à superfície

Temos:

Daí:

E:

Então:

Mas, sobre a orientação da normal, no enunciado é dito que no ponto a normal vale . Nesse ponto, temos:

Logo, substituindo na nossa expressão para a normal, vemos que encontramos orientada para . Isso significa que a orientação que encontramos anteriormente, a verdadeira normal é:

Montar a integral:

Reunindo as informações que encontramos até aqui, temos:

Fazendo o produto escalar do integrando, temos:

Logo, a integral fica:

Perfeito! Nossa missão é resolver essa integral bem feinha 😊

Precisamos resolver a integral:

Vamos separar em duas integrais, pois a integral da soma é a soma das integrais.

Assim:

Começando por , temos:

Como:

Temos:

Beleza, então:

Vamos para :

Chamando:

Temos:

Logo:

Logo, como a nossa integral de superfície é dada por:

Temos:

Portanto, a integral de superfície dada vale .

Eaí, entenderam tudo bem direitinho?!

Obrigado pela atenção gente 😊